15  Abschluss

Schlüsselwörter

Statistik, Bayes, Wahrscheinlichkeit, Inferenz, R, Kausalität

15.1 Lernsteuerung

Nach Absolvieren des jeweiligen Kapitels sollen folgende Lernziele erreicht sein.

Sie können …

• erläutern, wie Sie eine typische, sozialwissenschaftliche Forschungsfrage (quantitativ) untersuchen
• typische “Lieblingsfehler” benennen und Wege aufzeigen, um die Fehler zu umgehen
• zwischen den Grundkonzepten der Frequentistischen Statistik und der Bayes-Statistik übersetzen
• die Grundideen der Bayes-Statistik in eine Gesamtzusammenhang einordnen

In diesem Kapitel benötigen Sie folgende R-Pakete.

library(tidyverse)
library(easystats)
library(rstanarm)

Nutzen Sie nach Bedarf folgende Begleitvideos:

• Fragestunde QM2
• Playlist QM2
• Lieblingsfehler

Hinweis

Die Folien zu diesem Kapitel finden Sie hier.

15.2 Lieblingsfehler

Lieblingsfehler im Überblick 🤷:

1. Quantile und Verteilungsfunktion verwechseln
2. Prädiktoren nicht zentrieren, wenn es einen Interaktionsterm gibt
3. Interaktion falsch interpretieren
4. Regressionskoeffizienten kausal interpretieren, wenn es keine kausale Fundierung gibt

15.2.1 Post-Präd-Verteilung (PPV) und Post-Verteilung verwechseln 🤷

🏎 🏎 Vertiefung: Dieser Abschnitt ist nicht prüfungsrelevant. 🏎️ 🏎

Berechnen wir unser Standard-mtcars-Modell: mpg ~ hp.

m1 <- stan_glm(mpg ~ hp, data = mtcars, refresh = 0)

Die Post-Verteilung zeigt Stichproben zu den Parameterwerten, s. Tabelle 15.1.

post_verteilung <- m1 %>% 
  as_tibble()
head(post_verteilung)

Tabelle 15.1: Postverteilung in Stichprobenform (m1)

Diese Tabelle kann man hernehmen, um Fragen zu Post-Verteilung zu beantworten. Häufig ist es aber bequemer, z.B. mit parameters(m1) Post-Intervalle und Punktschätzer auszulesen.

Die Posterior-Prädiktiv-Verteilung (PPV) zeigt die Vorhersagen, also keine Parameterwerte, sondern Beobachtungen.

15.2.2 Quantile und Verteilungsfunktion verwechseln 🤷

15.2.2.1 Quantil für \(p\)

Ein \(p\)-Quantil teilt eine Verteilung in zwei Teile, und zwar so, dass mind. \(p\) kleiner oder gleich dem \(p\)-Quantil sind. s. Abbildung 15.1.

Abbildung 15.1: 50%-Quantil

Das 50%-Quantil (.5-Quantil) beträgt \(x=0\). Mind ein Anteil \(1-p\) ist größer oder gleich dem \(p\)-Quantil.

15.2.2.2 Verteilungsfunktion \(F\)

\(F(x)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an der Stelle \(x\) an, dass \(X\) einen Wert kleiner oder gleich \(x\) annimmt, s. Abbildung 15.2.

Abbildung 15.2: Verteilungsfunktion F(x=0)=1/2

\(F(0)=1/2\), die Wahrscheinlichkeit beträgt hier 50%, dass \(x\) nicht größer ist als 0.

15.2.3 Interaktion falsch interpretieren 🤷

Berechnen wir ein einfaches Interaktionsmodell: mpg ~ hp*vs.

Hinweis

Zur Erinnerung: mpg ~ hp*vs ist synonym zu (aber kürzer als) mpg ~ hp + vs + hp:vs.

m2 <- stan_glm(mpg ~ hp*vs, data = mtcars)  # mit Interaktionseffekt

Modellkoeffizienten, s. Tabelle 15.2.

parameters(m2)

Tabelle 15.2: Parameter von m2

Parameter	Median	95% CI	pd	Rhat	ESS (tail)	Prior
(Intercept)	24.58	(19.07, 29.94)	100%	1.001	2588	Normal (20.09 +- 15.07)
hp	-0.04	(-0.07, -0.01)	99.80%	1.001	2596	Normal (0.00 +- 0.22)
vs	14.22	(5.76, 23.58)	100%	1.002	1612	Normal (0.00 +- 29.89)
hp:vs	-0.11	(-0.20, -0.03)	99.85%	1.001	1738	Normal (0.00 +- 0.31)

Tabelle 15.2 zeigt die Visualisierung der Parameter von m2.

plot(parameters(m2))

Abbildung 15.3: Parameter von m2 visualisiert

Falsch 😈 Der Unterschied im Verbrauch zwischen den beiden Gruppen vs=0 und vs=1 beträgt ca. -0.11.

Richtig 👼 Der Unterschied im Verbrauch zwischen den beiden Gruppen vs=0 und vs=1 beträgt ca. -0.11 – wenn hp=0.

Da hp=0 kein realistischer Wert ist, ist das Modell schwer zu interpretieren. Zentrierte Prädiktoren wären hier eine sinnvolle Lösung.

Gelman et al. (2021), Kap. 10, McElreath (2020), Kap. 8

15.3 Kochrezepte 🍲

15.3.1 Kochrezept: Forschungsfrage untersuchen

Theoretische Phase 1. Staunen über ein Phänomen, \(y\), Kausalfrage finden 2. Literatur wälzen, um mögliche Ursachen \(x\) von \(y\) zu lernen 3. Forschungsfrage, Hypothese präzisieren 4. Modell präzisieren (DAG(s), Prioris)

Empirische Phase

5. Versuch planen
6. Daten erheben

Analytische Phase

7. Daten aufbereiten
8. Modell berechnen anhand eines oder mehrerer DAGs
9. Modell prüfen/kritisieren
10. Forschungsfrage beantworten

Yeah! Fertig.

15.3.2 Parameter schätzen vs. Hypothesen prüfen

Quantitative Studien haben oft einen von zwei (formalen) Zielen: Hypothesen testen oder Parameter schätzen. Beispiel Hypothesenprüfung: “Frauen parken im Durchschnitt schneller ein als Männer”. Beispiel Parameterschätzung: “Wie groß ist der mittlere Unterschied in der Ausparkzeit zwischen Frauen und Männern?”

Je ausgereifter ein Forschungsfeld, desto kühnere Hypothesen lassen sich formulieren: - stark ausgereift: - Die nächste totale Sonnenfinsternis in Deutschland wird am 27.7.2082 um 14.47h stattfinden, Quelle - gering ausgereift: - Die nächste Sonnenfinsternis wird in den nächsten 100 Jahren stattfinden. - Lernen bringt mehr als Nicht-Lernen für den Klausurerfolg. Kühne Hypothesen sind wünschenswert 🦹

15.3.3 Formalisierung von Forschungsfragen

Der Mittelwert in Gruppe A ist höher als in Gruppe B (der Unterschied, \(d\), im Mittelwert ist größer als Null):

\[\mu_1 > \mu_2 \Leftrightarrow \mu_1 - \mu_2 > 0 \Leftrightarrow \mu_d > 0\]

15.4 Kerngedanken Bayes

📺 Bayes in fünf Minuten

📺 Bayes in zehn Minuten

15.4.1 Zentraler Kennwert der Bayes-Statistik: Post-Verteilung

Berechnen wir wieder ein einfaches¹ Modell: mpg ~ hp.

m3 <- stan_glm(mpg ~ hp, data = mtcars)

Und schauen wir uns die Post-Verteilung an, mit eingezeichnetem HDI, s. Abbildung 15.4.

Abbildung 15.4: Post-Verteilung (HDI) von m3

Ein Zusammenfassen der Posterior-Verteilung (z.B. zu einem 95%-PI) ist möglich und oft sinnvoll. Verschiedene Arten des Zusammenfassens der Post-Verteilung sind möglich, z.B. zu Mittelwert oder SD oder einem HD-Intervall. Allerdings übermittelt nur die gesamte Post-Verteilung alle Informationen. Daher empfiehlt es sich (oft), die Post-Verteilung zu visualisieren.

15.4.2 Posteriori als Produkt von Priori und Likelihood

\[\text{Posteriori} = \frac{\text{Likelihood} \times \text{Priori}}{\text{Evidenz}}\]

15.5 Beispiele für Prüfungsaufgaben

15.5.1 Geben Sie den korrekten Begriff an!

🌬🚙🙋️👨⬅️Hans 👧⬅️Anna 👩⬅️Lise

Puh, wie erstelle ich für alle Studis ein anderes Rätsel²?

15.5.2 DAG mit doppelter Konfundierung

Puh, jetzt kommt ein wilder DAG, s. Abbildung 15.5.

Abbildung 15.5: Ein DAG mit doppelter Konfundierung. Ist hier noch zu helfen?

Definition 15.1 (Minimale Adjustierungsmenge) Die Minimale Adjustierungsmenge für x und y gibt eine kleinstmögliche Menge an Knoten eines DAGs an, die zu adjustieren sind, um den kausalen Effekt von x auf y zu bestimmen (zu “identifizieren”). \(\square\)

❓Geben Sie die minimale Adjustierungsmenge (minimal adjustment set) an, um den totalen (gesamten) Effekt von E auf D zu bestimmen!

❗ Entweder ist die Menge {A,Z} zu adjustieren oder die Menge {B,Z}.

Ja, dem DAG ist zu helfen.

15.5.3 DAG mit vielen Variablen

Je nach dem wie komplex Ihre Theorie ist, ist Ihr DAG auch komplex, s. Abbildung 15.6.

Abbildung 15.6: Ein DAG mit vielen Variablen

Minimale Adjustierungsmenge, um den Effekt von E auf D zu identifizieren: {7}, {8}.

Trotz der vielen Variablen, ist der kausale Effekt von E auf D recht gut zu identifizieren.

15.5.4 Ein Kausalmodell der Schizophrenie, van Kampen (2014)

The SSQ model of schizophrenic prodromal unfolding revised:

An analysis of its causal chains based on the language of directed graphs

D. van Kampen

Lesen Sie hier den Abstract.

Folgende Symptome der Schizophrenie wurden gemessen:

Social Anxiety (SAN), Active Isolation (AIS), Affective Flattening (AFF), Suspiciousness (SUS), Egocentrism (EGC), Living in a Fantasy World (FTW), Alienation (ALN), Apathy (APA), Hostility (HOS), Cognitive Derailment (CDR), Perceptual Aberrations (PER), and Delusional Thinking (DET)

van Kampen (2014)

UV: SUS, AV: EGC

Berechnen Sie die minimale Adjustierungsmenge, um den kausalen Effekt der UV auf die AV zu identifizieren!

Abbildung 15.7 zeigt den DAG von van Kampen (2014) zu den Symptomen der Schizophrenie.

Abbildung 15.7: Ein DAG zu den Symptomen der Schizophrenie

Minimales Adjustment-Set für den totalen Kausaleffekt: {AIS, ALN}

15.5.5 Modelle berechnen

Stellen Sie sich auf Aufgaben ein, in denen Sie Modellparameter berechnen sollen. Orientieren Sie sich an den Aufgaben und Inhalten des Unterrichts.

Prüfungsfragen zu Modellen könnten z.B. sein:

• Geben Sie den Punktschätzer (Median) für den Prädiktor X im Modell Y an!
• Geben Sie ein 89%-HDI für den Parameter X im Modell Y an!
• Geben Sie R-Quadrat an.
• Formulieren Sie ein Interaktionsmodell!
• Welches Modell ist korrekt, um den kausalen Effekt zu modellieren?
• Formulieren Sie ein Modell mit folgenden Prioris …
• Liegt der Effekt X noch im ROPE ?
• Unterscheidet sich die Breite des CI von der Breite des HDI für den Prädiktor X im Modell Y?
• Was verändert sich an den Parametern, wenn Sie die Prädiktoren zentrieren/z-standardisieren?
• …

15.6 Aufgabensammlungen

Folgende Tags auf dem Datenwerk beinhalten relevante Aufgaben³:

• bayes
• bayes-grid
• dag
• qm2
• probability
• post
• rope

Besondere “Prüfungsnähe” könnten diese Sammlungen haben:

• qm2-pruefung
• exam-22
• quiz1-qm2-ws23
• Verteilungen-Quiz

15.6.1 Quiz-Aufgaben

Hier finden Sie Single-Choice-Aufgaben zu diesem Kapitel. Wählen Sie eine Antwort aus und klicken Sie auf das Häkchen, um sie zu überprüfen; über das Fragezeichen erhalten Sie die ausführliche Lösung.

Das Kapitel nennt das Verwechseln von Post-Verteilung und Posterior-Prädiktiv-Verteilung (PPV) als einen “Lieblingsfehler”. Für das Modell m1: mpg ~ hp liefert m1 %>% as_tibble() eine Tabelle mit Spalten wie (Intercept), hp und sigma; posterior_predict(m1) liefert hingegen eine Tabelle mit vorhergesagten mpg-Werten. Welche Aussage zum Unterschied ist korrekt?

Der Unterschied zwischen beiden Tabellen ist rein kosmetisch und für die Interpretation der Ergebnisse folgenlos.as_tibble(m1) liefert vorhergesagte mpg-Werte, posterior_predict(m1) liefert die Parameterwerte.Die PPV enthält ausschließlich Parameterwerte, niemals Beobachtungswerte.Beide Befehle liefern exakt dieselbe Information, nur mit unterschiedlichen Spaltennamen.as_tibble(m1) liefert Stichproben der Post-Verteilung (Werte der Modellparameter wie Achsenabschnitt, Steigung, Sigma); posterior_predict(m1) liefert Stichproben der PPV (vorhergesagte Beobachtungswerte der AV mpg) – beide Tabellen enthalten unterschiedliche Größen und dürfen nicht gleichgesetzt werden.

as_tibble(m1) gibt die Stichproben der Post-Verteilung zurück – also Werte für die Modellparameter (\(\beta_0\), \(\beta_1\), \(\sigma\)). posterior_predict(m1) (bzw. die PPV allgemein) gibt hingegen vorhergesagte Beobachtungswerte der AV zurück, unter Berücksichtigung sowohl der Parameterungewissheit als auch der intrinsischen Streuung (\(\sigma\)). Diese beiden Konzepte – Wahrscheinlichkeit von Parameterwerten vs. Wahrscheinlichkeit von Beobachtungen – zu verwechseln, ist laut Kapitel ein häufiger Fehler. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option ignoriert den inhaltlichen Unterschied: Parameterwerte (z.B. eine Steigung in “mpg pro PS”) und vorhergesagte Beobachtungen (konkrete mpg-Werte für Autos) sind unterschiedliche Größen, keine bloß unterschiedlich benannten Spalten derselben Information.

• Die dritte Option vertauscht die beiden Funktionen genau umgekehrt zur richtigen Zuordnung.

• Die vierte Option ist falsch: Die PPV enthält gerade keine Parameterwerte, sondern vorhergesagte Beobachtungswerte der AV – das ist ja genau der definierende Unterschied zur Post-Verteilung.

• Die fünfte Option widerspricht der zentralen Warnung des Kapitels: Die Verwechslung beider Konzepte wird explizit als “Lieblingsfehler” bezeichnet, der zu falschen Interpretationen führen kann (z.B. Verwechslung von Parameterungewissheit und Vorhersageungewissheit für Einzelbeobachtungen).

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Wahr

Für eine Standardnormalverteilung gilt sowohl: das 50%-Quantil beträgt \(x=0\), als auch: die Verteilungsfunktion an der Stelle \(x=0\) beträgt \(F(0)=0{,}5\). Beide Aussagen liefern hier scheinbar “die gleiche Information”. Welche Aussage zum konzeptionellen Unterschied zwischen Quantil und Verteilungsfunktion ist dennoch korrekt?

Quantile sind nur für diskrete, die Verteilungsfunktion nur für stetige Verteilungen definiert.Ein Quantil liefert immer eine Wahrscheinlichkeit, niemals einen Wert auf der X-Achse.Ein \(p\)-Quantil ist ein Wert auf der X-Achse (gegeben eine Wahrscheinlichkeit \(p\), gesucht ist der zugehörige Wert), während die Verteilungsfunktion \(F(x)\) eine Wahrscheinlichkeit liefert (gegeben ein Wert \(x\), gesucht ist die zugehörige kumulierte Wahrscheinlichkeit) – beide sind Umkehrfunktionen zueinander.Quantil und Verteilungsfunktion sind in jedem Fall identisch und können beliebig gegeneinander ausgetauscht werden.Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) liefert immer einen Wert auf der X-Achse, niemals eine Wahrscheinlichkeit.

Ein \(p\)-Quantil beantwortet die Frage “Welcher Wert \(x\) gehört zu einer gegebenen (kumulierten) Wahrscheinlichkeit \(p\)?” – man geht also von der Wahrscheinlichkeit aus und sucht einen Wert. Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) beantwortet die umgekehrte Frage: “Welche (kumulierte) Wahrscheinlichkeit gehört zu einem gegebenen Wert \(x\)?” – man geht vom Wert aus und sucht eine Wahrscheinlichkeit. Beide Funktionen sind zueinander invers, weshalb sie im symmetrischen Beispiel (\(p=0{,}5 \leftrightarrow x=0\)) zur “gleichen” Zahlenkombination führen – inhaltlich bleibt aber die Blickrichtung (von \(p\) zu \(x\) vs. von \(x\) zu \(p\)) unterschiedlich. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option übergeneralisiert die zufällige Übereinstimmung im Symmetriefall: Bei einer schiefen Verteilung liefern Quantil und Verteilungsfunktion an vergleichbaren Stellen im Allgemeinen unterschiedliche Zahlenwerte, da sie unterschiedliche Fragen beantworten.

• Die dritte Option verwechselt Quantil mit Verteilungsfunktion: Ein Quantil ist gerade ein Wert auf der X-Achse (die Skala der Zufallsvariable), keine Wahrscheinlichkeit.

• Die vierte Option verwechselt ebenfalls beide Konzepte genau umgekehrt: \(F(x)\) liefert eine Wahrscheinlichkeit (zwischen 0 und 1), keinen Wert auf der X-Achse.

• Die fünfte Option ist falsch: Sowohl Quantile als auch Verteilungsfunktionen sind für diskrete und stetige Verteilungen definiert (wenn auch mit leicht unterschiedlichen technischen Details bei diskreten Verteilungen).

• Falsch

• Falsch

• Wahr

• Falsch

• Falsch

Für das Interaktionsmodell m2: mpg ~ hp*vs (unzentrierte Prädiktoren) wird der Koeffizient für vs auf ca. \(-0{,}11\) geschätzt. Welche Interpretation dieses Werts ist laut Kapitel korrekt?

Der Unterschied im Verbrauch zwischen vs=0 und vs=1 beträgt ca. \(-0{,}11\), und zwar unabhängig vom Wert von hp.Da hp=0 ein realistischer, häufig vorkommender Wert im Datensatz mtcars ist, ist die Interpretation unproblematisch.Der Koeffizient \(-0{,}11\) gibt den Interaktionseffekt selbst an, nicht den Haupteffekt von vs.Der Koeffizient für vs ist bei einem Interaktionsmodell immer bedeutungslos und sollte grundsätzlich ignoriert werden.Der Unterschied im Verbrauch zwischen vs=0 und vs=1 beträgt ca. \(-0{,}11\) – aber nur unter der (meist unrealistischen) Bedingung, dass hp=0 ist; bei unzentrierten Prädiktoren mit Interaktion bezieht sich der Haupteffekt-Koeffizient immer auf diesen Sonderfall.

Das Kapitel stellt die Interpretation als “Falsch 😈” vs. “Richtig 👼” gegenüber: Falsch wäre zu sagen, der Unterschied zwischen vs=0 und vs=1 betrage generell \(-0{,}11\). Richtig ist: Dieser Unterschied gilt nur für den Fall hp=0 – bei einem Interaktionsmodell mit unzentrierten Prädiktoren bezieht sich der Haupteffekt-Koeffizient einer Variablen immer auf den Zustand, in dem die andere (interagierende) Variable gleich Null ist. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option beschreibt genau die im Kapitel als “Falsch 😈” markierte Fehlinterpretation: Bei vorhandener Interaktion hängt der Effekt von vs gerade vom Wert von hp ab, ist also nicht über alle hp-Werte hinweg konstant.

• Die dritte Option verwechselt den Haupteffekt-Koeffizienten von vs mit dem separaten Interaktionskoeffizienten (hp:vs), der einen anderen (dritten) Zahlenwert in der Modellausgabe hat.

• Die vierte Option übertreibt: Der Koeffizient ist nicht bedeutungslos, sondern hat eine spezifische, bedingte Bedeutung (nämlich bei hp=0) – man muss nur wissen, wie man ihn korrekt interpretiert.

• Die fünfte Option widerspricht dem Kapitel direkt: “Da hp=0 kein realistischer Wert ist, ist das Modell schwer zu interpretieren.” – kein Auto im Datensatz hat 0 PS, weshalb genau dieser Interpretationsfehler besonders tückisch ist.

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Wahr

Einer der “Lieblingsfehler” im Kapitel lautet: “Prädiktoren nicht zentrieren, wenn es einen Interaktionsterm gibt”. Warum ist das Fehlen der Zentrierung bei einem Interaktionsmodell besonders problematisch?

Zentrieren ist nur bei Interaktionsmodellen mit ausschließlich nominalen Prädiktoren notwendig.Zentrieren ist bei Interaktionsmodellen zwar üblich, hat aber überhaupt keinen Effekt auf die Interpretierbarkeit der Koeffizienten.Ohne Zentrierung beziehen sich die Haupteffekt-Koeffizienten der beteiligten Prädiktoren jeweils auf den (oft unrealistischen) Fall, dass der jeweils andere Prädiktor den Wert 0 annimmt – das erschwert die Interpretation erheblich und lädt zu Fehlinterpretationen ein (wie bei mpg ~ hp*vs).Nicht-zentrierte Prädiktoren führen bei Interaktionsmodellen automatisch zu falschen Vorhersagen des Modells.Ohne Zentrierung lässt sich ein Interaktionsmodell technisch überhaupt nicht mit stan_glm() berechnen.

Wie am Beispiel mpg ~ hp*vs gezeigt: Ohne Zentrierung bezieht sich der Koeffizient von vs auf den (unrealistischen) Fall hp=0, was leicht zu Fehlinterpretationen führt (siehe “Lieblingsfehler” Interaktion falsch interpretieren). Zentriert man hingegen die metrischen Prädiktoren, beziehen sich die Haupteffekte auf den durchschnittlichen Wert des jeweils anderen Prädiktors – eine deutlich sinnvollere Referenzgröße. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option ist falsch: stan_glm() berechnet Interaktionsmodelle problemlos auch mit unzentrierten Prädiktoren (wie im Kapitel explizit am Modell m2 gezeigt) – das Problem betrifft die Interpretierbarkeit, nicht die technische Berechenbarkeit.

• Die dritte Option widerspricht der zentralen Botschaft dieses und früherer Kapitel: Zentrieren ändert zwar nicht die Vorhersagen des Modells, wohl aber ganz erheblich, worauf sich die Haupteffekt-Koeffizienten beziehen und wie leicht (oder schwer) sie zu interpretieren sind.

• Die vierte Option ist falsch: Zentrieren ändert – wie in einem früheren Kapitel gezeigt – nichts an den vorhergesagten Werten des Modells, nur an der Interpretierbarkeit der Koeffizienten.

• Die fünfte Option ist eine unzutreffende Einschränkung: Der im Kapitel gezeigte Problemfall (hp) betrifft gerade einen metrischen Prädiktor – die Zentrierungsempfehlung gilt in erster Linie für metrische, nicht für rein nominale Prädiktoren.

• Falsch

• Falsch

• Wahr

• Falsch

• Falsch

Ein weiterer im Kapitel genannter “Lieblingsfehler” lautet: “Regressionskoeffizienten kausal interpretieren, wenn es keine kausale Fundierung gibt”. Was genau ist mit “kausaler Fundierung” hier gemeint, und wann ist eine kausale Interpretation eines Regressionskoeffizienten gerechtfertigt?

Ein Regressionskoeffizient darf immer kausal interpretiert werden, sobald er statistisch (mit hoher Wahrscheinlichkeit) von Null verschieden ist.Eine kausale Interpretation ist immer dann gerechtfertigt, wenn möglichst viele Kontrollvariablen ins Modell aufgenommen wurden.Eine kausale Interpretation ist nur gerechtfertigt, wenn entweder ein sauber begründetes Kausalmodell (DAG) vorliegt, das die relevanten Konfundierer korrekt berücksichtigt, oder wenn die Daten aus einem gut durchgeführten (randomisierten) Experiment stammen.Kausale Fundierung bedeutet, dass die Stichprobe besonders groß sein muss (\(n>1000\)).Ein Regressionskoeffizient ist automatisch kausal interpretierbar, sobald das zugehörige Modell einen hohen \(R^2\)-Wert aufweist.

Wie in den vorherigen Kapiteln zur Kausalinferenz ausführlich behandelt: Ein Regressionskoeffizient darf nur dann kausal interpretiert werden, wenn man entweder ein korrektes Kausalmodell (DAG) kennt, das anzeigt, welche Variablen kontrolliert werden müssen (und welche nicht), oder wenn die Daten durch ein handwerklich gutes, randomisiertes Experiment gewonnen wurden, das Konfundierung von vornherein ausschließt. Ohne eines von beidem bleibt ein Regressionskoeffizient zunächst nur ein statistischer (assoziativer) Befund. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option verwechselt statistische Signifikanz (bzw. eine hohe Post-Wahrscheinlichkeit ungleich Null) mit kausaler Fundierung – ein Effekt kann statistisch robust von Null verschieden und dennoch eine reine Scheinkorrelation sein (z.B. durch Konfundierung), wie die Kapitel zur Kausalinferenz ausführlich zeigen.

• Die dritte Option widerspricht dem in den Kausalitäts-Kapiteln vermittelten Wissen direkt: Das “wilde” Aufnehmen möglichst vieler Prädiktoren kann genauso schaden wie nützen (z.B. durch Kontrolle von Kollisionsvariablen oder Mediatoren) – nur die richtigen Kontrollvariablen (laut korrektem DAG) sollten aufgenommen werden.

• Die vierte Option nennt ein sachlich unbegründetes Kriterium: Eine große Stichprobe reduziert die Ungewissheit der Schätzung, sagt aber nichts darüber aus, ob der geschätzte Zusammenhang auch kausal ist – eine Scheinkorrelation bleibt auch bei riesigen Stichproben eine Scheinkorrelation.

• Die fünfte Option verwechselt Modellgüte (Vorhersagegenauigkeit, \(R^2\)) mit kausaler Interpretierbarkeit – ein Modell kann sehr gut vorhersagen und trotzdem keine kausalen Aussagen erlauben (rein deskriptive/prognostische Zielrichtung).

• Falsch

• Falsch

• Wahr

• Falsch

• Falsch

Ein DAG mit “doppelter Konfundierung” enthält folgende Pfeile: \(A\rightarrow E\), \(A\rightarrow Z\), \(B\rightarrow D\), \(B\rightarrow Z\), \(E\rightarrow D\), \(Z\rightarrow D\), \(Z\rightarrow E\). Dabei ist \(E\) die UV (Exposure) und \(D\) die AV (Outcome). Welche der folgenden Mengen ist laut Kapitel eine korrekte minimale Adjustierungsmenge, um den totalen kausalen Effekt von \(E\) auf \(D\) zu bestimmen?

\(\{D\}\) – man muss die AV selbst kontrollieren.Die leere Menge \(\{\}\) – man muss überhaupt nichts kontrollieren.\(\{A, Z\}\) (oder alternativ \(\{B, Z\}\))\(\{A, B, Z\}\) – man muss immer alle Variablen des DAGs kontrollieren.\(\{A, B\}\), ohne \(Z\) zu berücksichtigen.

Laut Kapitel ist entweder die Menge \(\{A, Z\}\) oder alternativ die Menge \(\{B, Z\}\) zu adjustieren, um den totalen Effekt von \(E\) auf \(D\) korrekt zu identifizieren. Beide Mengen blockieren alle nicht-kausalen (“Hintertür-”)Pfade zwischen \(E\) und \(D\), ohne dabei den eigentlichen kausalen Pfad \(E\rightarrow D\) selbst zu blockieren. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option ist falsch: \(Z\) wirkt sowohl auf \(E\) (\(Z\rightarrow E\)) als auch auf \(D\) (\(Z\rightarrow D\)) und ist damit ein Konfundierer – ohne jegliche Kontrolle bliebe der Effekt von \(E\) auf \(D\) verzerrt.

• Die dritte Option lässt gerade den zentralen Konfundierer \(Z\) aus, dessen direkter Pfeil sowohl zu \(E\) als auch zu \(D\) führt – ohne Kontrolle von \(Z\) (oder einer geeigneten Alternative über \(A\) bzw. \(B\)) bleibt eine offene Hintertür bestehen.

• Die vierte Option widerspricht dem Konzept der minimalen Adjustierungsmenge: Es reicht (und ist oft vorzuziehen), eine möglichst kleine Menge zu kontrollieren, die alle Hintertüren schließt – nicht zwangsläufig alle im DAG vorkommenden Variablen (mehr zu kontrollieren als nötig kann sogar neue Probleme wie Kollisionsverzerrung erzeugen).

• Die fünfte Option ergibt keinen Sinn im Rahmen der Hintertür-Logik: Man kontrolliert Drittvariablen, um Verzerrungen des Effekts der UV auf die AV zu vermeiden – die AV selbst zu “kontrollieren” widerspricht dem Ziel, gerade ihren Zusammenhang mit der UV zu schätzen.

• Falsch

• Falsch

• Wahr

• Falsch

• Falsch

Was ist laut Kapitel eine “minimale Adjustierungsmenge” (minimal adjustment set)?

Die kleinstmögliche Menge an Knoten (Variablen) eines DAGs, die kontrolliert (adjustiert) werden müssen, um den kausalen Effekt der UV auf die AV zu identifizieren.Die Menge aller Variablen, die niemals kontrolliert werden dürfen, unabhängig vom DAG.Die minimale Anzahl an Beobachtungen (Stichprobengröße), die für eine verlässliche Kausalanalyse nötig ist.Eine beliebige, zufällig ausgewählte Teilmenge der im DAG enthaltenen Variablen.Die größtmögliche Menge an Variablen, die man in ein Regressionsmodell aufnehmen sollte, um möglichst viel Varianz zu erklären.

Die Definition im Kapitel lautet: “Die minimale Adjustierungsmenge für x und y gibt eine kleinstmögliche Menge an Knoten eines DAGs an, die zu adjustieren sind, um den kausalen Effekt von x auf y zu bestimmen (zu ‘identifizieren’).” Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option verwechselt die minimale Adjustierungsmenge mit einem Kriterium der Modellgüte (erklärte Varianz) – das Ziel der Adjustierungsmenge ist die unverzerrte Schätzung eines Kausaleffekts, nicht die Maximierung von \(R^2\); mehr Prädiktoren als nötig können sogar schaden (z.B. bei Kollisionsvariablen).

• Die dritte Option ignoriert, dass die Wahl der Adjustierungsmenge einer systematischen Analyse des DAGs (welche Pfade sind Hintertüren, welche sind bereits blockiert) folgt, keine zufällige Auswahl ist.

• Die vierte Option verwechselt die minimale Adjustierungsmenge (eine Menge von Variablen) mit einer Frage der Stichprobengröße (einer Anzahl von Beobachtungen) – beide Konzepte sind unabhängig voneinander.

• Die fünfte Option kehrt die Definition ins Gegenteil um: Die minimale Adjustierungsmenge benennt gerade die Variablen, die kontrolliert werden sollen (um Hintertüren zu schließen), nicht solche, die niemals kontrolliert werden dürfen.

• Wahr

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Falsch

Das Kapitel vergleicht eine “stark ausgereifte” Hypothese (“Die nächste totale Sonnenfinsternis in Deutschland wird am 27.7.2082 um 14:47 Uhr stattfinden”) mit einer “gering ausgereiften” Hypothese (“Lernen bringt mehr als Nicht-Lernen für den Klausurerfolg”). Welche Aussage zum Zusammenhang zwischen Reifegrad eines Forschungsfeldes und der “Kühnheit” von Hypothesen ist korrekt?

Je ausgereifter ein Forschungsfeld ist (je mehr gesichertes, präzises Wissen vorliegt), desto kühnere – d.h. präzisere und riskantere, leichter falsifizierbare – Hypothesen lassen sich formulieren.Eine “gering ausgereifte” Hypothese ist automatisch präziser als eine “stark ausgereifte”, weil in neuen Feldern mehr Unsicherheit herrscht, die durch präzisere Aussagen kompensiert werden muss.Die Präzision einer Hypothese hat nichts mit dem Reifegrad des zugrundeliegenden Forschungsfeldes zu tun.Kühne Hypothesen sind grundsätzlich unwissenschaftlich und sollten vermieden werden.Je weniger ausgereift ein Forschungsfeld ist, desto präzisere Hypothesen kann man formulieren, da noch wenig bekannt ist.

Das Beispiel zeigt: In der (sehr weit entwickelten) Astronomie lässt sich eine Sonnenfinsternis auf die Minute genau vorhersagen – eine sehr kühne, leicht falsifizierbare Aussage. In einem weniger ausgereiften Feld (z.B. der Frage, ob Lernen den Klausurerfolg verbessert) sind hingegen nur vagere, weniger präzise Hypothesen möglich. Je mehr gesichertes Wissen (Theorie, Daten) in einem Feld vorliegt, desto kühnere (präzisere, riskantere) Hypothesen lassen sich formulieren und testen. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option kehrt den beschriebenen Zusammenhang um: Gerade in wenig erforschten Feldern sind nur vage, wenig präzise Hypothesen möglich, da belastbares Vorwissen fehlt.

• Die dritte Option widerspricht dem Kapitel direkt: “Kühne Hypothesen sind wünschenswert 🦹” – sie gelten als Zeichen eines gut verstandenen, ausgereiften Forschungsfeldes, nicht als unwissenschaftlich.

• Die vierte Option ignoriert genau die im Kapitel gezogene Verbindung zwischen Reifegrad des Feldes und möglicher Präzision der Hypothesen.

• Die fünfte Option ist unbegründet und widerspricht dem Beispiel: Die “gering ausgereifte” Hypothese im Beispiel (“Lernen bringt mehr…”) ist gerade vager (weniger präzise), nicht präziser, als die “stark ausgereifte” (exakte Sonnenfinsternis-Vorhersage).

• Wahr

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Falsch

Das “Kochrezept” zur Untersuchung einer Forschungsfrage gliedert sich laut Kapitel in drei Phasen: theoretisch, empirisch, analytisch. Welche Zuordnung von Schritten zu Phasen ist korrekt?

Die Datenerhebung gehört in die theoretische Phase, das Festlegen von Prioris in die analytische Phase.Alle Schritte (Literaturrecherche, Datenerhebung, Modellberechnung) gehören in ein und dieselbe Phase, eine Unterteilung in drei Phasen ist im Kapitel nicht vorgesehen.Modellkritik (Schritt “Modell prüfen/kritisieren”) ist laut Kapitel kein notwendiger Bestandteil des Forschungsprozesses.Theoretische Phase: Phänomen entdecken, Literatur wälzen, Forschungsfrage präzisieren, Modell (DAG, Prioris) festlegen. Empirische Phase: Versuch planen, Daten erheben. Analytische Phase: Daten aufbereiten, Modell berechnen, Modell prüfen, Forschungsfrage beantworten.Die analytische Phase kommt laut Kapitel vor der empirischen Phase: Man berechnet zuerst das Modell und erhebt danach erst die Daten.

Das Kapitel listet explizit: Theoretische Phase (1. Staunen über ein Phänomen \(y\), Kausalfrage finden; 2. Literatur wälzen; 3. Forschungsfrage/Hypothese präzisieren; 4. Modell präzisieren – DAG(s), Prioris); Empirische Phase (5. Versuch planen; 6. Daten erheben); Analytische Phase (7. Daten aufbereiten; 8. Modell berechnen; 9. Modell prüfen/kritisieren; 10. Forschungsfrage beantworten). Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option vertauscht die Phasenzuordnung genau umgekehrt: Datenerhebung gehört zur empirischen, das Festlegen von Prioris (Teil der Modellpräzisierung) zur theoretischen Phase.

• Die dritte Option ignoriert die im Kapitel explizit vorgenommene Dreiteilung des Forschungsprozesses in aufeinanderfolgende, inhaltlich unterschiedliche Phasen.

• Die vierte Option widerspricht der logischen und im Kapitel dargestellten Reihenfolge: Man plant und erhebt zunächst Daten (empirische Phase, Schritte 5-6), bevor man diese Daten analysiert und das Modell darauf berechnet (analytische Phase, Schritte 7-10) – nicht umgekehrt.

• Die fünfte Option widerspricht dem Kapitel direkt: “Modell prüfen/kritisieren” ist explizit als Schritt 9 der analytischen Phase aufgeführt, ein notwendiger Teil des Forschungsprozesses.

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• Falsch

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• Wahr

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Das Kapitel betont im Abschnitt zu den “Kerngedanken Bayes”, dass man eine Post-Verteilung zwar zu einzelnen Kennzahlen (z.B. Mittelwert, SD oder einem HD-Intervall) zusammenfassen kann, dies aber mit einem gewissen Informationsverlust einhergeht. Welche Aussage dazu ist korrekt?

Mittelwert und Standardabweichung der Post-Verteilung sind grundsätzlich nutzlose Kennzahlen und sollten nie berichtet werden.Die Visualisierung der Post-Verteilung ist laut Kapitel überflüssig, sobald man ein Schätzintervall berechnet hat.Eine zusammengefasste Kennzahl (wie ein Intervall) enthält grundsätzlich mehr Information als die vollständige Post-Verteilung selbst.Nur die gesamte Post-Verteilung übermittelt alle verfügbaren Informationen über die Ungewissheit eines Parameters; jede Zusammenfassung (z.B. ein einzelnes Intervall) reduziert diese Information notwendigerweise – deshalb ist es oft sinnvoll, die Post-Verteilung zusätzlich zu visualisieren.Ein 95%-HDI enthält immer exakt dieselbe Information wie die vollständige Post-Verteilung, ohne jeglichen Informationsverlust.

Das Kapitel stellt fest: “Allerdings übermittelt nur die gesamte Post-Verteilung alle Informationen. Daher empfiehlt es sich (oft), die Post-Verteilung zu visualisieren.” Eine Zusammenfassung (Punktschätzer, Intervall) ist praktisch und oft sinnvoll, verdichtet aber zwangsläufig Information, die in der vollständigen Verteilung (z.B. Form, Schiefe, mögliche Mehrgipfligkeit) steckt. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option widerspricht der Kernaussage: Ein Intervall wie das 95%-HDI fasst die Verteilung auf zwei Grenzwerte zusammen und verliert dabei Information über die genaue Form der Verteilung innerhalb (und außerhalb) dieses Intervalls.

• Die dritte Option übertreibt: Das Kapitel bezeichnet zusammenfassende Kennzahlen nicht als “nutzlos”, sondern weist nur darauf hin, dass sie weniger Information enthalten als die vollständige Verteilung – sie bleiben dennoch praktisch und oft sinnvoll berichtete Kennzahlen.

• Die vierte Option widerspricht dem Kapitel direkt, das die Visualisierung der Post-Verteilung ausdrücklich empfiehlt, gerade weil zusammenfassende Kennzahlen allein nicht alle Information transportieren.

• Die fünfte Option kehrt die logische Beziehung um: Eine Zusammenfassung kann per Definition nicht mehr Information enthalten als das Original, aus dem sie berechnet wurde – höchstens gleich viel (im Idealfall) oder (praktisch immer) weniger.

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• Falsch

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15.7 Viel Erfolg bei der Prüfung!

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Gelman, A., Hill, J., & Vehtari, A. (2021). Regression and Other Stories. Cambridge University Press.

McElreath, R. (2020). Statistical Rethinking: A Bayesian Course with Examples in R and Stan (2. Aufl.). Taylor and Francis, CRC Press.

van Kampen, D. (2014). The SSQ Model of Schizophrenic Prodromal Unfolding Revised: An Analysis of Its Causal Chains Based on the Language of Directed Graphs. European Psychiatry, 29(7), 437–448. https://doi.org/10.1016/j.eurpsy.2013.11.001

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