10  Fallbeispiele

10.1 Lernsteuerung

10.1.1 Position im Modulverlauf

Abbildung 1.1 gibt einen Überblick zum aktuellen Standort im Modulverlauf.

10.1.2 Lernziele

Nach Absolvieren des jeweiligen Kapitels sollen folgende Lernziele erreicht sein.

Sie können…

• typische, deskriptive Forschungsfragen spezifizieren als Regression
• Forschungsfragen in Regressionsterme übersetzen
• typische Forschungsfragen auswerten

10.1.3 Begleitliteratur

Der Stoff dieses Kapitels orientiert sich an McElreath (2020), Kap. 4.4 sowie Gelman et al. (2021), Kap. 7 und 10.

10.1.4 Vorbereitung im Eigenstudium

• Statistik1, Kap. “Geradenmodelle 2”

10.1.5 R-Pakete

In diesem Kapitel werden folgende R-Pakete benötigt:

library(rstanarm)   # Bayes-Modelle
library(tidyverse)
library(easystats)

10.1.6 Benötigte Daten

Wir benötigen in diesem Kapitel folgende Datensätze: kidiq, penguins.

10.1.6.1 kidiq

Den Datensatz kidiq importieren Sie am einfachsten aus dem R-Paket rstanarm, das Sie schon installiert haben.

data("kidiq", package = "rstanarm")

Alternativ können Sie die Daten hier herunterladen.

10.1.6.2 penguins

Sie können den Datensatz penguins entweder via dem Pfad importieren:

penguins_url <- "https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/palmerpenguins/penguins.csv"

penguins <- read.csv(penguins_url)

Oder via dem zugehörigen R-Paket:

data("penguins", package = "palmerpenguins")

Beide Möglichkeit sind okay.

10.1.7 Einstieg

Beispiel 10.1 (Was waren noch mal die Skalenniveaus?) Um Forschungsfragen zu klassifizieren, müssen Sie wissen, was die Skalenniveaus der beteiligten AV und der UV(s) sind.¹ \(\square\)

Beispiel 10.2 (Was war noch einmal die Interaktion?) Erkären Sie die Grundkonzepte der Interaktion (hier synonym: Moderation) im Rahmen einer Regressionsanalyse!² \(\square\)

10.1.8 Überblick

Wenn Sie die Skalenniveaus wissen, können Sie die Forschungsfrage korrekt auswerten, also das korrekte (Regressions-)Modell spezifizieren. Wir werden hier viele der typischen Forschungsfragen (aus psychologischen und ähnlichen Fragestellungen) mit Hilfe von Regressionsmodellen beantworten. Das hat den Vorteil, dass sie nicht viele verschiedene Auswertungsmethoden (t-Test, Varianzanalyse, …) lernen müssen. Außerdem ist die Regressionsanalyse (für viele Situationen) die beste Heransgehensweise, da sie viele Möglichkeiten für Erweiterungen bietet. Entsperchend ist das Thema dieses Kapitels gängige Forschungsfragen mit Hilfe der Regressionsanalyse zu untersuchen. Wenn Sie die Grundkonzepte der Regression schon kennen, wird Ihnen vieles sehr bekannt vorkommen. Natürlich würzen wir das Ganze mit einer ordentlichen Portion Post-Verteilungen aus der Bayes-Küche. Allerdings kommt auch dabei nichts Wesentliches mehr hinzu, abgesehen von einer paar Erweiterungen.

10.2 Arten von Forschungsfragen

10.2.1 Nach dem Erkenntnisziel

📄 Deskriptiv (beschreibend)

• Wie stark ist der (lineare) Zusammenhang \(r\) von Größe und Gewicht?
• Wie stark ist der (lineare) Zusammenhang \(b\) von Lernzeit und Note?
• Bevorzugen unsere Kunden Webshop A oder B?

🔮 Prädiktiv (prognostisch, vorhersagend)

• Wie schwer ist ein deutscher Mann der Größe 1,80m im Schnitt?
• Welche Note kann man erwarten, wenn man nichts für die Klausur lernt?
• Wie viel wird ein Kunde ausgeben, wenn er sich in dieser Variante des Webshops aufhält?

🔗 Präskriptiv (erklärend, kausal)

• Ist Größe eine Ursache von Gewicht (bei deutschen Männern)?
• Wenn ich 100 Stunden lerne, welche Note schreibe ich dann?
• Hat die Art des Webshops einen Einfluss auf unseren Umsatz?

Hinweis

Das Erkenntnisziel wissenschaftlicher Studien ist zumeist erklärend. Anhand der verwendeten statistischen Methode (z.B. Regressionsanalyse) kann man nicht feststellen, zu welchem Erkenntnisziel die Studie gehört.

10.2.2 Nach dem Skalenniveau

Wir konzentrieren uns im Folgenden auf Forschungsfragen auf Basis von Regressionsmodellen mit metrischer AV. Andere Skalenniveaus bei der AV klammern wir aus.

Für die UV(s) sind nominale und metrische Skalenniveaus erlaubt. Modelle mit mehreren UV (und mehreren Stufen an UV) sind erlaubt.

10.2.3 Varianten von Forschungsfragen

Im Folgenden sind beispielhafte, häufig verwendete Arten von Forschungsfragen aufgeführt. Für jede Variante ist ein Beispiel, die Modellformel, der Kausalgraph³, die Forschungsfrage sowie die Grundlagen der Auswertung dargestellt.

Dabei wird folgende Nomenklatur verwendet, um die Skalenmniveaus der beteiligten Variablen einer Forschungsfrage zu benennen:

• y: metrische abhängige Variable
• g: Gruppierungsvariable; nominal skalierter unabhängige Variable (querschnittlich)
• b: binäre Variable
• x: metrische unabhängige Variable
• u: ungemessene Variable

10.3 y ~ b

10.3.1 Forschungsfrage

Hintergrund:

Eine Psychologin, die im öffentlichen Dienst als Schulpsychologin arbeitet, versucht herauszufinden, warum einige Kinder intelligenter sind als andere. Dazu wurden in einer aufwändigen Studie die Intelligenz vieler Kinder gemessen. Zusätzliche wurden verschiedene Korrelate der Intelligenz erhoben, in der Hoffnung, “Risikofaktoren” für geringere Intelligenz zu entdecken.

Forschungsfrage:

Unterscheidet sich der mittlere IQ-Wert (kid_score) von Kindern in Abhängigkeit davon, ob ihre jeweilige Mutter über einen Schlusabschluss (mom_hs, \(x=1\)) verfügt (bzw. nicht, \(x=0\))? (ceteris paribus)⁴.

Die Modellformel zur Forschungsfrage lautet: y ~ b bzw. kid_iq ~ mom_hs.

Formaler ausgedrückt und als Behauptung (Hypothese) formuliert, sieht die Forschungsfrage so aus (Gleichung 10.1):

\[\mu_{x=1|\alpha, \beta, \sigma} \ne \mu_{x=0|\alpha, \beta, \sigma} \tag{10.1}\]

Die Modellformel zur Forschungsfrage lautet: y ~ b bzw. kid_iq ~ mom_hs.

Der Kausalgraph zur Modellformel sieht aus in Abbildung 10.1 dargestellt. Y hat, laut unserem Modell, drei Ursachen:

• b
• x
• u, das steht für “unbekannt”⁵

Abbildung 10.1: DAG für kid_iq ~ mom_hs

10.3.2 IQ von Kindern, binärer Prädiktor

data("kidiq")  # Paket rstanarm
m10.1 <- stan_glm(
  kid_score ~ mom_hs, 
  seed = 42,
  data = kidiq)

Mit parameters(m10.1) bekommt man die Parameter des Modells, s. Tabelle 10.1.

Tabelle 10.1: Parameter des Modells m10.1 (sigma ist nicht dargestellt)

Parameter	Median	95% CI	pd	Rhat	ESS	Prior
(Intercept)	77.56	(73.28, 81.64)	100%	1.001	3917.00	Normal (86.80 +- 51.03)
mom_hs	11.80	(7.18, 16.48)	100%	1.001	3789.00	Normal (0.00 +- 124.21)

In Abbildung 10.2 ist der Unterschied im IQ der Kinder als Funktion des Schlussabschlusses der Mutter dargestellt.

estimate_expectation(m10.1) %>% plot()

Abbildung 10.2: Kinder, deren Mütter über einen Schulabschluss verfügen, haben im Mittel einen höheren Intelligenztestwert, laut dem vorliegenden Modell

10.3.3 Interpretation von m10.1

m10.1: kid_score = 78 + 12*mom_hs + error

Der Achsensabschnitt (intercept, \(\beta_0\) oder auch mit \(\alpha\) bezeichnet) ist der mittlere (bzw. vorhergesagte) IQ-Wert von Kindern, deren Mütter über keinen Schulabschluss (mom_hs = 0) verfügen:

kid_score = 78 + 0*12 + error

Das Regressionsgewicht (slope, \(\beta_1\), \(\beta\)) ist der Unterschied im IQ-Wert von Kindern mit Mütter mit Schlulabschluss (im Vergleich zum IQ-Wert von Kindern mit Mütter ohne Schlusabschluss). Dieser Unterschied entspricht der Steigung der Regressionsgeraden.

kid_score = 78 + 1*12 + error = 90 + error

Der Wert von error zeigt, wie genau die Schätzung (Vorhersage) ist bzw. wie stark Prädiktor (UV) und Kriterium (AV) zusammenhängen.

error entspricht dem Vorhersagefehler, also dem Unterschied vom tatsächlichen IQ-Wert des Kindes (\(y\)) zum vom Modell vorhergesagten Wert (\(\hat{y}\)).

10.3.4 m10.1 als Mittelwertsdifferenz

• UV: binär (zweistufig nominal/kategorial)
• AV: metrisch (quantitativ)

👨‍🏫 Hey R-Golem! Nimm den Datensatz kidiq, gruppiere nach mom_hs und fasse zusammen anhand des Mittelwerts. Die resultierende Zahl soll heißen kid_score_avg. An die Arbeit!

🤖 Loving it!

R-Code

kidiq %>% 
  group_by(mom_hs) %>% 
  summarise(kid_score_avg = 
              mean(kid_score))

Ausgabe

mom_hs	kid_score_avg
0	77.55
1	89.32

Der mittlere (average, avg) IQ-Wert unterscheidet sich um ca. 12 Punkte (89.4-77.6), zugunsten der Kinder von Müttern mit Abschluss.

10.3.5 Rope

Prüfen wir, ob der Effekt der UV “praktisch Null” ist; dazu nutzen wir das ROPE-Verfahren.

rope(m10.1)

Das Ergebnis zeigt uns, dass es 0% Überlappung vom Rope und dem 95%-HDI (der Posterior-Verteilung) gibt.

Fazit: Wir verwerfen die Praktisch-Null-Hypothese. Adios! Abbildung 10.3 visualisiert die Erstreckung der Posteriori-Verteilung (und des 95%-HDI) sowie des Rope.

(a) Diagramm mit rope(m10.1) %>% plot()

(b) Diagramm mit parameters(m10.1) %>% plot()

Abbildung 10.3: Rope und HDI überlappen nicht. Wir verwerfen die Praktisch-Null-Hypothese.

10.3.6 t-Test

In der frequentistischen Statistik (die mehrheitlich unterricht wird) untersucht man diese Datensituation - Mittelwertsdifferenz zwischen zwei Gruppen - mit einem t-Test.

Der t-Test ist ein inferenzstatistisches Verfahren, das prüft, ob die Mittelwertsdifferenz (in der Population) \(\mu_d\) Null ist: \(\mu_d = 0\).⁶ In der Bayes-Statistik betrachtet man dazu stattdessen z.B. die Posteriori-Verteilung (z.B. mit 95%PI).

Alternativ zum t-Test kann man - unabhängig, ob man Frequentistisch oder Bayesianisch unterwegs ist - mit einer Regression vom Typ y ~ b das gleiche Ergebnis erreichen.⁷

10.3.7 Antwort auf die Forschungsfrage, m10.1

Betrachten wir die Ergebnisse von m10.1.

R-Code

m10.1_post <-
  m10.1 %>% 
  as_tibble() 

names(m10.1_post) <- c("Achsenabschnitt", "momhs", "sigma")  # schönere Namen

Ausgabe

Hier sind die ersten paar Zeilen, s. Tabelle 10.2.

Tabelle 10.2: m10.1, Postverteilung, ersten paar Zeilen

Stichprobe aus der Post-Verteilung
Achsenabschnitt	momhs	sigma
75.5	14.3	20.3
78.8	10.2	20.4
76.2	15.1	21.8
80.1	8.1	19.6
75.6	12.9	18.9

Berechnen wir ein 95%-PI von Hand:⁸

pi_mom_hs <-
  m10.1_post %>% 
  summarise(pi_95 = quantile(momhs, c(.025, .975)))

pi_mom_hs

Mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt der Unterschied im mittleren IQ-Wert zwischen Kindern von Müttern mit bzw. ohne Schulabschluss im Bereich von 7 bis 14 IQ-Punkten, laut unserem Modell: \(95\%PI: [7,16]\). Die Hypothese, dass es keinen Unterschied oder einen Unterschied in die andere Richtung geben sollte, ist vor diesem Hintergrund als unwahrscheinlich abzulehnen.

Visualisieren wir abschließend die Posteriori-Verteilung, s. Abbildung 10.4.

plot(eti(m10.1))

Abbildung 10.4: Das 95% ETI zum (statistischen) Effekt des mütterlichen Schulabschlusses

Zur Einnerung: Korrelation ungleich Kausation. Von einem “Effekt” zu sprechen, lässt in den meisten Köpfen wohl die Assoziation zu einem kausalen Effekt entstehen. Ein Kausaleffekt ist eine starke (und sehr interessante und wichtige) Behauptung, die mehr Fundierung bedarf als eine einfache Korrelation bzw. ein einfacher Zusammenhang.

10.3.8 Vertiefung: Toleranzbereich

🏎️VERTIEFUNG, nicht prüfungsrelevant🏎️

Berechnet man ein Regressionsmodell mit stan_glm (🤖😁), dann zieht man dabei Zufallszahlen 🎲. Der Hintergrund ist, dass Stan eine Stichproben-Post-Verteilung erstellt, und das Ziehen der Stichproben erfolgt zufällig. Das erklärt, warum Ihre Ergebnisse einer Regressionsanalyse mittels stan_glm von denen in diesem Buch abweichen können.

Um zu prüfen, ob Ihre Ergebnisse “ähnlich genug” oder “innerhalb eines Toleranzbereichs” sind, kann man die Funktion is_in_tolerance() aus dem R-Paket prada nutzen.

Größe des Toleranzbereichs

Die Größe des relativen Toleranzbereichs ist in is_in_toleranzce() auf 5% festgelegt. Das heißt, ein Unterschied von 5% zwischen einem Referenzwert (dem “wahren” Wert) und Ihrem Wert ist okay, also im Toleranzbereich. Außerdem gibt es noch einen absoluten Toleranzbereich, der auf 5% der SD der AV festgelegt ist (bei Regressionsmodellen). Der größere der beiden Werte gilt. \(\square\)

Wenn Sie diese Funktion nutzen wollen, müssen Sie zunächst das Paket installieren (von Github, nicht vom Standard-R-App-Store CRAN), das geht z.B. so:

library(remotes)  # dieses Paket können Sie mit `install.packages("remotes") installieren
install_github("sebastiansauer/prada")

Dann starten Sie es wie gewohnt:

library(prada)

Dann testen Sie, ob Ihr Modellparameter, z.B. \(\beta_1\) innerhalb eines Toleranzbereichs liegt.

Sagen wir der “richtige” oder “wahre” Wert (oder schlicht der Wert einer Musterlösung) für \(\beta_0\) ist 77. Unser Wert sei 77.56. Liegt dieser Wert noch innerhalb eines Toleranzbereichs?

is_in_tolerance(asis = 77.56,  # Ihr Wert
                tobe = 77,   # Referenzwert
                tol_rel = .05,   # relative Toleranz
                tol_abs = .05 * sd(kidiq$kid_score)  # absolute Toleranz
                )
## [1] TRUE

Ja, unser Wert ist innerhalb des Toleranzbereichs. ✅

10.4 y ~ x + b

10.4.1 Forschungsfrage

Wie stark ist der statistische Effekt von jeweils Schulabschluss der Mutter (mom_hs) und IQ der Mutter (mom_iq) auf den IQ des Kindes (kid_score) ?

Die Modellformel zur Forschungsfrage lautet: y ~ x + b bzw. kid_score ~ mom_iq + mom_hs.

Der Kausalgraph⁹ zur Modellformel sieht aus in Abbildung 10.5 dargestellt. Laut unserem Modell ist y also eine Funktion zweier (kausaler) Einflüsse, b und u, wobei u für “unbekannt” steht, also für alle sonstigen Einflüsse.¹⁰

Abbildung 10.5: DAG für y ~ b

Deskriptive Statistiken zum Datensatz sind in Tabelle Tabelle 10.3 dargestellt.

data("kidiq")  # Paket rstanarm, alternativ über CSV einlesen
describe_distribution(kidiq)

Tabelle 10.3: Variablen und ihre Verteilung im Datenatz kidiq

Variable	Mean	SD	IQR	Range	Skewness	Kurtosis	n	n_Missing
kid_score	86.80	20.41	28.00	(20.00, 144.00)	-0.46	-0.16	434	0
mom_hs	0.79	0.41	0.00	(0.00, 1.00)	-1.40	-0.05	434	0
mom_iq	100.00	15.00	21.67	(71.04, 138.89)	0.47	-0.57	434	0
mom_age	22.79	2.70	4.00	(17.00, 29.00)	0.18	-0.63	434	0

10.4.2 1 metrischer Prädiktor

Berechnen wir folgendes Modell: kid_score ~ mom_iq (m10.2), s. Tab. Tabelle 10.4.

m10.2 <-
  stan_glm(kid_score ~ mom_iq, data = kidiq, seed = 42)

m10.2 %>% 
  parameters()

Tabelle 10.4: Parameter des Modells m10.2

Parameter	Median	95% CI	pd	Rhat	ESS	Prior
(Intercept)	25.78	(14.04, 36.99)	100%	1.000	3518.00	Normal (86.80 +- 51.03)
mom_iq	0.61	(0.50, 0.73)	100%	1.000	3486.00	Normal (0.00 +- 3.40)

kid_score = 26 + 0.6 * mom_iq + error

mit ggplot2

Visualisieren wir uns noch das Modell m10.2, s. Abbildung 10.6.

kidiq %>% 
  ggplot(aes(x = mom_iq, y = kid_score)) +
  geom_point(alpha = .7) +
  geom_abline(slope = coef(m10.2)[2],
              intercept = coef(m10.2)[1],
              color = "blue")

Abbildung 10.6: Die Intelligenz eines Kindes als Funktion der Intelligenz der Mutter (m10.2)

Mit easystats

Alternativ kann man sich - einfacher - das Modell (m10.2) so visualisieren, mit Hilfe des R-Pakets easystats, s. Abbildung 10.7.

plot(estimate_expectation(m10.2))

Abbildung 10.7: Die geschätzten Erwartungswerte von m10.2 visualisiert

Die Linie zeigt die vorhergesagten IQ-Werte der Kinder für verschiedene IQ-Werte der Mütter. Vergleicht man Teilpopulationen von Müttern mit mittleren Unterschied von einem IQ-Punkt, so findet man 0.6 IQ-Punkte Unterschied bei ihren Kindern im Durchschnitt, laut dem Modell m10.2. Der Achsenabschnitt hilft uns nicht weiter, da es keine Menschen mit einem IQ von 0 gibt.

10.4.3 Beide Prädiktoren, m10.3

Berechnen wir als nächstes ein Modell mit beiden Prädiktoren: kid_score ~ mom_hs + mom_iq, s. Tabelle 10.5.

m10.3 <- 
  stan_glm(
    kid_score ~ mom_iq + mom_hs, 
    refresh = 0,
    seed = 42,
    data = kidiq)

Tabelle 10.5: Parameter des Modells m10.3 (ohne sigma)

Parameter	Median	95% CI	pd	Rhat	ESS	Prior
(Intercept)	25.74	(13.87, 36.76)	100%	1.001	3961.00	Normal (86.80 +- 51.03)
mom_iq	0.57	(0.45, 0.69)	100%	1.001	3456.00	Normal (0.00 +- 3.40)
mom_hs	6.04	(1.62, 10.15)	99.60%	0.999	3616.00	Normal (0.00 +- 124.21)

Will man nur schnell die Koeffizienten des Modells (d.h. Punktschätzer der Modellparametern, in diesem Fall den Median) wissen, so kann man anstelle von parameters(mein_modell) auch coef(mein_modell) schreiben:

coef(m10.3)
## (Intercept)      mom_iq      mom_hs 
##  25.7447712   0.5654851   6.0376396

m10.3: kid_score = 26 + 0.6*mom_iq + 6*mom_hs + error

Möchte man nur z.B. den 3. Wert aus diesem Vektor, so kann man schreiben:

coef(m10.3)[3]
##  mom_hs 
## 6.03764

Aber natürlich ist es möglich (und einfacher) anstelle von coef den Befehl parameters zu verwenden.

Und die Visualisierung des Modells m10.3, s. Abbildung 10.8.

kidiq2 <-
  kidiq %>% 
  mutate(mom_hs = as.factor(mom_hs))

m10.3a <- 
  stan_glm(
    kid_score ~ mom_iq + mom_hs, 
    refresh = 0,
    seed = 42,
    data = kidiq2)

plot(estimate_expectation(m10.3a))

Abbildung 10.8: Der Effekt von sowohl mütterlicher Intelligenz als auch mütterlichem Schulabschluss.

• Achsenabschnitt: Hat das Kind eine Mutter mit einem IQ von 0 und ohne Schulabschluss, dann schätzt das Modell den IQ-Wert des Kindes auf 26.
• Koeffizient zum mütterlichen Schulabschluss: Vergleicht man Kinder von Müttern gleicher Intelligenz, aber mit Unterschied im Schulabschluss, so sagt das Modell einen Unterschied von 6 Punkten im IQ voraus.
• Koeffizient zur mütterlichen IQ: Vergleicht man Kinder von Müttern mit gleichem Wert im Schulabschluss, aber mit 1 IQ-Punkt Unterschied, so sagt das Modell einen Unterschied von 0.6 IQ-Punkten bei den Kindern voraus.

10.5 y ~ x + b + x:b

10.5.1 Interaktion zur Modellformel hinzufügen

In m10.3 hat das Modell die Regressionsgeraden gezwungen, parallel zu sein. Betrachtet man das Streudiagramm, so sieht man, das nicht-parallele Geraden besser passen. Sind die Regressionsgeraden nicht parallel, so spricht man von einer Interaktion (synonym: Interaktionseffekt, Moderation).

Wichtig

Liegt eine Interaktion vor, so unterscheidet sich die Steigung der Geraden in den Gruppen. Liegt keine Interaktion vor, so sind die Geraden parallel.\(\square\)

Wir berechnen mit m10.4 das Modell mit folgender Modellformel: kid_score ~ mom_hs + mom_iq + mom_hs:mom_iq, s. Listing 10.1, Abbildung 10.9 und Tabelle 10.6.

Listing 10.1: Die Modelldefition von m10.4 mit stanglm

m10.4 <- 
  stan_glm(kid_score ~ mom_iq + mom_hs + mom_hs:mom_iq, 
           seed = 42,
           data = kidiq, 
           refresh = 0)

Tabelle 10.6: Parameter von m10.4

Parameter	Median	95% CI	pd	Rhat	ESS	Prior
(Intercept)	-10.68	(-37.44, 15.92)	77.12%	1.000	1338.00	Normal (86.80 +- 51.03)
mom_iq	0.96	(0.67, 1.25)	100%	1.000	1340.00	Normal (0.00 +- 3.40)
mom_hs	50.36	(21.58, 80.70)	99.98%	1.001	1311.00	Normal (0.00 +- 124.21)
mom_iq:mom_hs	-0.47	(-0.79, -0.17)	99.88%	1.001	1293.00	Normal (0.00 +- 1.16)

Mit estimate_expectation(m10.4) |> plot() kann man es sich visualisieren, s. Abbildung 10.9.

Abbildung 10.9: Wie m10.3, aber mit Interaktionseffekt. Es ist gut zu erkennen, dass der Achsenabschnitt für diese Daten kaum zu interpretieren ist.

Die Modellformel zur Forschungsfrage lautet: y ~ x + b + x:b.

Der DAG zur Modellformel sieht aus in Abbildung 10.10 dargestellt.

Abbildung 10.10: DAG für y ~ x + b + x:b

10.5.2 Interpretation von m10.4

Achsenabschnitt: IQ-Schätzwerte für Kinder mit Mütter ohne Abschluss und mit einem IQ von 0. Kaum zu interpretieren. - mom_hs: Unterschied der IQ-Schätzwerte zwischen Kindern mit Mutter ohne bzw. mit Schulabschluss und jeweils mit einem IQ von 0. Puh. mom_iq: Unterschied der IQ-Schätzwerte zwischen Kindern mit Müttern, die sich um einen IQ-Punkt unterscheiden aber jeweils ohne Schulabschluss. Interaktion: Der Unterschied in den Steigungen der Regressiongeraden, also der Unterschied des Koeffizienten für mom_iq zwischen Mütter mit bzw. ohne Schulabschluss.

Für beide Gruppen, mom_hs=0 und mom_hs=1 gilt folgende Regressionsformel, s. Gleichung 10.2.

\[\text{kid score} = \text{intercept} + \beta_1 \cdot \text{mom hs} + \beta_2 \cdot \text{mom iq} + \beta_3 \cdot \text{mom hs} \cdot \text{mom iq} \tag{10.2}\]

Auf Errisch schreibt mit Gleichung 10.2 so (s. Listing 10.1):

kid_score ~ mom_iq + mom_hs + mom_hs:mom_iq

Trägt man die Werte der Koeffizienten (\(\beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3\)) ein, so erhält man Gleichung 10.3.

\[\text{kid score} = -10 + 50\cdot \text{mom hs} + 1.1 \cdot \text{mom iq} + (-0.5) \cdot \text{mom hs} \cdot \text{mom iq} \tag{10.3}\]

\(\beta_3\) gibt den Interaktionseffekt an.

Teilen wir die Regressionsformel einmal auf die beiden Gruppen (mom_hs=0 bzw. mom_hs=1) auf:

mom_hs=0:

kid_score = -10 + 50*0 + 1.1*mom_iq  - 0.5*0*mom_iq
          = -10 + 1.1*mom_iq

mom_hs=1:

kid_score = -10 + 50*1 + 1.0*mom_iq - 0.5*1*mom_iq
          = 40 + 0.5*mom_iq

10.5.3 Nach der Interpretation von 20 unzentrierten Koeffizienten

via GIPHY

10.6 y ~ x_c + b + x_c:b

10.6.1 Zentrieren von Prädiktoren

Unter Zentrieren (to center) versteht man das Bilden der Differenz eines Messwerts zu seinem Mittelwert.¹¹ Zentrierte Werte geben also an, wie weit ein Messwert vom mittleren (typischen) Messwert entfernt ist. Mit zentrierten Werten ist eine Regression einfacher zu interpretieren. Hier zentrieren wir (nur) mom_iq; die zentrierte Variable kennzeichnen wir durch den Suffix _c, also mom_iq_c.

Man könnte auch mom_hs zentrieren, aber für eine einfache Interpretation ist es meist nützlich, nur metrische Prädiktoren zu zentrieren.

kidiq <-
  kidiq %>% 
  mutate(mom_iq_c = mom_iq - mean(mom_iq))

m10.5 <- stan_glm(kid_score ~ mom_hs + mom_iq_c + mom_hs:mom_iq_c, 
                  data = kidiq, 
                  seed = 42,
                  refresh = 0)
coef(m10.5)

Fixed Effects

Parameter	Median
(Intercept)	85.34
mom_hs	2.86
mom_iq_c	0.97
mom_hs:mom_iq_c	-0.48

10.6.2 Interpretation von m10.5

• Der Achsenabschnitt (Intercept) gibt den geschätzten IQ des Kindes an, wenn man eine Mutter mittlerer Intelligenz und ohne Schulabschluss betrachtet.
• mom_hs gibt den Unterschied im geschätzten IQ des Kindes an, wenn man Mütter mittlerer Intelligenz aber mit bzw. ohne Schlusabschluss vergleicht.
• mom_iq_c gibt den Unterschied im geschätzten IQ des Kindes an, wenn man Mütter ohne Schlusabschluss aber mit einem IQ-Punkt Unterschied vergleicht.
• mom_hs:mom_iq_c gibt den Unterschied in den Koeffizienten für mom_iq_c an zwischen den beiden Grupen von mom_hs.

m10.5 ist in Abbildung 10.11 dargestellt.

Abbildung 10.11: m10.5: Interaktionsmodell mit zentriertem Prädiktor für mütterlicher Intelligenz. Wie man sieht, ist der Achsenabschnitt deutlich besser zu interpretieren als in m10.4, s. Abbildung 10.9.

10.6.3 Zentrieren ändert nichts an den Vorhersagen

Betrachten wir die Vorhersagen von m10.4:

new <- tibble(mom_hs = 0, mom_iq = mean(kidiq$mom_iq))
pred_new <- predict(m10.4, newdata = new)
mean(pred_new)
## [1] 85.32635

Und vergleichen wir mit diesen die Vorhersagen von m10.5:

new <- tibble(mom_hs = 0, mom_iq_c = 0)
pred_new <- predict(m10.5, newdata = new)
mean(pred_new)
## [1] 85.35988

Wir sehen, die Vorhersagen sind (bis auf Rundungsfehler) identisch.

Auch die Streuungen der vorhergesagten Werte unterscheiden sich nicht (wirklich): \(\sigma_{m10.4}= 18\); \(\sigma_{m10.5}= 18\).

Das Zentrieren ändert auch nicht die Regressionskoeffizienten, da die Streuungen der Prädiktoren nicht verändert wurden.

10.6.4 Perzentilintervalle aus der Posterori-Verteilung

Tabelle 10.7 zeigt die Punktschätzer der Parameter für m10.5 sowie ihre Perzentilintervalle¹². Nutzen Sie dafür parameters(m10.5), s. Tabelle 10.7.

Tabelle 10.7: Parameter von m10.5 und ETIs

Parameter	Median	95% CI	pd	Rhat	ESS	Prior
(Intercept)	85.34	(81.17, 89.61)	100%	1.003	2348.00	Normal (86.80 +- 51.03)
mom_hs	2.86	(-1.80, 7.62)	87.98%	1.002	2470.00	Normal (0.00 +- 124.21)
mom_iq_c	0.97	(0.68, 1.24)	100%	1.004	1833.00	Normal (0.00 +- 3.40)
mom_hs:mom_iq_c	-0.48	(-0.78, -0.16)	99.83%	1.003	1874.00	Normal (0.00 +- 3.87)

Highest Density (Posterior) Intervalle (HDI oder HDPI) kann man sich komfortabel ausgeben lassen mit hdi(m10.5) oder mit parameters(m10.5, ci_method = "hdi"), s. Tabelle 10.8.

parameters(m10.5, ci_method = "hdi") %>% 
  display()

Tabelle 10.8: Parameter von m10.5 und HDIs

Parameter	Median	95% CI	pd	Rhat	ESS	Prior
(Intercept)	85.34	(80.96, 89.39)	100%	1.003	2348.00	Normal (86.80 +- 51.03)
mom_hs	2.86	(-1.64, 7.75)	87.98%	1.002	2470.00	Normal (0.00 +- 124.21)
mom_iq_c	0.97	(0.68, 1.24)	100%	1.004	1833.00	Normal (0.00 +- 3.40)
mom_hs:mom_iq_c	-0.48	(-0.78, -0.17)	99.83%	1.003	1874.00	Normal (0.00 +- 3.87)

Im Falle symmetrischer Posteriori-Verteilungen (wie hier) kommen beide Arten von Intervallen zu gleichen Ergebnissen.

10.6.5 Beantworten der Forschungsfrage

Das Model zeigt keine Belege, dass sich die mittlere Intelligenz von Kindern bei Müttern mit bzw. ohne Schlusabluss unterscheidet (95%PI: [-2.0, 7.8]). Hingegen fand sich ein Effekt der mütterlichen Intelligenz; pro Punkt Unterschied in müttlerlichem IQ fand sich ein Unterschied von 0.7 bis 1.3 IQ-Punkte (95%PI). Außerdem fand sich ein Beleg, dass der Zusammenhang des IQ zwischen Mutter und Kind durch den Schulabschluss moderiert wird: Bei Mütter mit Schulabschluss war der Zusammenhang zwischen Mutter-IQ und Kind-IQ geringer (95%PI: [-0.80, -0.17]).

Wichtig

Das Modell macht keine kausalen Aussagen. Es werden lediglich Unterschiede bzw. Zusammenhänge beschrieben. Für kausale Aussagen ist mehr nötig, als einen statistischen Zusammenhang festzustellen.

10.7 y ~ g

Hier untersuchen wir ein Modell mit einer nominalen UV mit mehreren Stufen.

10.7.1 Forschungsfrage

Nach Ihrem Studium wurden Sie reich als Unternehmensberater:in; Ihre Kompetenz als Wirtschaftspsychologi war heiß begehrt. Von Statistik wollte niemand etwas wissen… Doch nach einiger Zeit kamen Sie in eine Sinnkrise. Sie warfen Ihre Job hin und beschlossen, in die Wissenschaft zu gehen. Kurz entschlossen bewarben Sie sich auf das erste Stellenangebot als Nachwuchswissenschaftler:in.

Ihr Forschungsprojekt führte Sie in die Antarktis… Nun, das war zumindest ein Gegenentwurf zu Ihrem bisherigen Jet-Set-Leben.

Ihre Aufgabe bestand nun darin, Pinguine zu untersuchen. Genauer gesagt ging es um Größenunterschiede zwischen drei Pinguinarten. Ja, stimmt, an so ein Forschungsprojekt hatten Sie vorher nie auch nur nur im Traum gedacht.

Unterscheiden sich die mittleren Körpergewichte der drei Pinguinarten?

Die allgemeine Modellformel zur Forschungsfrage lautet: y ~ g.

Der DAG zur Modellformel sieht aus in Abbildung 10.12 dargestellt.

Abbildung 10.12: DAG für y ~ g

10.7.2 Alle Mittelwerte sind gleich, exakt gleich (?)

• Formal: \(\mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_k\) mit \(k\) verschiedenen Gruppen von Pinguinarten.

• Hypothesen, die keinen (Null) Unterschied zwischen Gruppen oder keinen Zusammenhang zwischen Variablen postulieren, kann man als Nullhypothesen bezeichnen.

• Moment. Dass sich alle Mittelwerte um 0,00000000 unterscheiden, ist wohl nicht zu vermuten. Wer glaubt sowas? 🤔 Daher ist die bessere Forschungsfrage:

Wie sehr unterscheiden sich mittlere Körpergewichte in Abhängigkeit von der Pinguinart?

Alternativ können wir die Hypothese prüfen, ob die Mittelwerte “praktisch” gleich sind, also sich “kaum” unterscheiden. Der Grenzwert für “praktisch gleich” bzw. “kaum unterschiedlich” ist subjektiv. Dazu in Kapitel 9.3 mehr.

10.7.3 Erster Blick in den Datensatz penguins

Palmer Penguins

Datenquelle, Beschreibung des Datensatzes

Hier ist die Verteilung des Gewichts jeder Spezies im Datensatz, Tabelle 10.9.

penguins %>% 
  select(body_mass_g, species) %>% 
  group_by(species) %>% 
  describe_distribution(range = FALSE, iqr = FALSE)

Tabelle 10.9: Die Verteilung des Körpergewichts pro Spezies der Pinguine

Was fällt Ihnen auf?

10.7.4 Visualisierung (EDA)

Hier kommen die Pinguine! Wie schwer sind die Tiere in unserer Stichprobe, s. Abbildung 10.13?

Abbildung 10.13: Verteilung des Körpergewichts dreier Arten von Pinguinen - Geom Violine

10.7.5 Gewicht pro Spezies, m10.6

Berechnen wir das mittlere Gewicht pro Spezies (Gruppe) der Pinguine, s. m10.6 und Tabelle 10.10.

Die Modellformel für m10.6 lautet also body_mass_g ~ species.

options(mc.cores = parallel::detectCores())  # Turbo einschalten

m10.6 <- stan_glm(body_mass_g ~ species, 
                  data = penguins, 
                  refresh = 0,  # unterdrückt Ausgabe der Posteriori-Stichproben
                  seed = 42  # zur Reproduzierbarkeit
                  )

m10.6 %>% parameters()

Tabelle 10.10: Parameter des Modells m10.6; neben dem Achsenabschnitt sind die Effekte der Gruppe Adelie und Chinstrap ausgewiesen

Parameter	Median	95% CI	pd	Rhat	ESS	Prior
(Intercept)	3700.62	(3627.04, 3773.47)	100%	0.999	4057.00	Normal (4201.75 +- 2004.89)
speciesChinstrap	32.49	(-104.84, 168.88)	68.53%	1.000	4282.00	Normal (0.00 +- 5015.92)
speciesGentoo	1374.43	(1263.00, 1492.13)	100%	1.000	4454.00	Normal (0.00 +- 4171.63)

10.7.6 Interpretation von m10.6

Die UV hat drei verschiedene Stufen (Werte, Ausprägungen; hier: Spezies), aber es werden in Tabelle 10.10 nur zwei Stufen angezeigt (also eine weniger) zusätzlich zum Achsenabsdhnitt. Die fehlende Stufe (Adelie, nicht ausgegeben) ist die Vergleichs- oder Referenzkategorie (baseline) und ist im Achsenabschnitt ausgedrückt (Intercept). Die Koeffizienten für species geben jeweils den (vorhergesagten) Unterschied zur Vergleichskategorie wieder. Pinguine der Spezies Adelie haben laut Modell ein mittleres Gewicht von ca. 3700g. Pinguine der Spezies Gentoo sind laut Modell im Mittel gut 1000g schwerer als Pinguine der Spezies Adelie, etc.

Der Unterschied im mittleren Gewicht von den Gruppen Chinstrap und Gentoo zur Referenzgruppe (Adelie) ist in Abbildung 10.14 verdeutlicht.

plot(hdi(m10.6)) + scale_fill_okabeito()

Abbildung 10.14: Effekt der UV: Unterschiede zur Referenzgruppe (95%-HDI)

Das Farbschema nach Okabe und Ito ist gut geeignet, um nominal skalierte Farben zu kodieren (d. Details hier).

10.7.7 Glauben wir jetzt an Gruppeneffekte?

Glauben wir jetzt, auf Basis der Modellparameter, an Unterschiede (hinsichtlich der AV) zwischen den Gruppen (UV)?

Es scheinen sich nicht alle Gruppen voneinander zu unterscheiden. So ist der Mittelwert der Gruppe Gentoo deutlich höher als der der beiden anderen Gruppen. Umgekehrt sind sich die Pinguinarten Adelie und Chinstrap in ihren Mittelwerten ziemlich ähnlich.

Wie in Abbildung 10.14 ersichtlich, überlappt sich der Schätzbereich für den Parameter von Gentoo nicht mit der Null; hingegen überlappt sich der Schätzbereich des Parameters für Chinstrap deutlich mit der Nullinie.

Auf Basis unseres Modells verwerfen wir die also (mit hoher Sicherheit) die Hypothese, dass alle Mittelwerte exakt identisch sind.

Ehrlicherweise hätte sowieso (fast) niemand geglaubt, dass die exakte Nullhypothese \(\mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_k\) bis in die letzte Dezimale gilt. Anders gesagt: Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Wertes einer stetigen Zufallsvariable ist praktisch Null. Aber: Viele Forschis prüfen gerne die Nullhypothese, daher diskutieren wir den Begriff der (exakten) Nullhypothese. Das Verfahren der Frequentistischen Statistik, um die Nullhypothese \(\mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_k\) zu testen, nennt man Varianzanalyse (analysis of variance, kurz ANOVA). In der Bayes-Statistik nutzt man - wie immer - primär die Post-Verteilung, um Fragen der Inferenz (z.B. Gruppenunterschiede dieser Art) inferenzstatistisch zu beurteilen.

10.7.8 Priori-Werte ändern

Unser Modell m10.6 hat schwach informierte (weakly informative) Priors. Für Achsenabschnitt und die Regressionskoeffizienten trifft unser Golem Stan folgende Annahmen in der Voreinstellung:

• Achsenabschnitt und Regressionsgewichte werden als normalverteilt angenommen
• mit Mittelwert entsprechend den Stichprobendaten
• und einer Streuung des Mittelwerts, die der 2.5-fachen der Streuung in der Stichprobe entspricht
• für Sigma wird eine Exponentialverteilung mit Rate \(\lambda=1\) angenommen, skaliert mit der Streuung der AV.

Mehr Infos kann man sich so ausgeben lassen: prior_summary(modell):

prior_summary(m10.6)
## Priors for model 'm10.6' 
## ------
## Intercept (after predictors centered)
##   Specified prior:
##     ~ normal(location = 4202, scale = 2.5)
##   Adjusted prior:
##     ~ normal(location = 4202, scale = 2005)
## 
## Coefficients
##   Specified prior:
##     ~ normal(location = [0,0], scale = [2.5,2.5])
##   Adjusted prior:
##     ~ normal(location = [0,0], scale = [5015.92,4171.63])
## 
## Auxiliary (sigma)
##   Specified prior:
##     ~ exponential(rate = 1)
##   Adjusted prior:
##     ~ exponential(rate = 0.0012)
## ------
## See help('prior_summary.stanreg') for more details

Wo man man über mehr inhaltliches Wissen verfügt, so wird man die Prioris anpassen wollen, z.B.:

m10.6b <- stan_glm(
  body_mass_g ~ species, 
  data = penguins, 
  refresh = 0,
  seed = 42,
  prior = normal(location = c(0, 0),  # betas, Mittelwert
                 scale = c(500, 500)),  # betas, Streuung
  prior_intercept = normal(3000, 500),  # Achsenabschnitt, Mittelwert und Streuung
  prior_aux = exponential(0.001)
)
coef(m10.6b)
##      (Intercept) speciesChinstrap    speciesGentoo 
##       3704.05651         24.43995       1358.46254

Anstelle von Rohwerten (hier Angabe von Gramm Gewicht) kann man die Streuung auch in z-Werten eingeben, das macht es etwas einfacher. Dazu gibt man bei dem oder den entsprechenden Parametern den Zusatz autoscale = TRUE an.

m10.6c <- stan_glm(
  body_mass_g ~ species, 
  data = penguins, 
  refresh = 0,
  seed = 42,
  prior = normal(location = c(0, 0),  # betas, Mittelwert
                 scale = c(2.5, 2.5),  # betas, Streuung
                 autoscale = TRUE),  # in z-Einheiten
  prior_intercept = normal(4200, 2.5,   # Achsenabschnitt, Mittelwert und Streuung
                           autoscale = TRUE), 
  prior_aux = exponential(1, autoscale = TRUE)
)
coef(m10.6c)
##      (Intercept) speciesChinstrap    speciesGentoo 
##       3701.13562         29.50406       1374.92375

Den Parameter für die Streuung des Modells, \(\sigma\), kann man sich mit sigma(modell) ausgeben lassen:

sigma(m10.6b)
## [1] 463.3178

Implizit bekommt man die Informationen zu \(\sigma\) mitgeteilt durch die Größe der Konfidenzintervalle.

Übrigens macht es meistens keinen Sinn, extrem weite Prioris zu definieren¹³.

10.7.9 Wechsel der Referenzkategorie

species ist eine nominale Variable, da passt in R der Typ factor (Faktor) am besten. Aktuell ist der Typ noch character (Text):

penguins <- penguins %>% 
  mutate(species = factor(species))

Im Standard sortiert R die Faktorstufen alphabetisch, aber man kann die Reihenfolge ändern.

levels(penguins$species)
## [1] "Adelie"    "Chinstrap" "Gentoo"

Setzen wir Gentoo als Referenzkategorie und lassen die restliche Reihenfolge, wie sie ist:

library(forcats)
penguins <- penguins %>% 
  mutate(species = factor(species),
    species = fct_relevel(species, "Gentoo"))

Beachten Sie, dass dazu das Paket forcats verfügbar sein muss.

Jetzt haben wir die Referenzkategorie geändert:

levels(penguins$species)
## [1] "Gentoo"    "Adelie"    "Chinstrap"

Der Wechsel der Referenzkategorie ändert nichts Wesentliches am Modell, s. Tabelle 10.11.

m10.6a <- stan_glm(body_mass_g ~ species, data = penguins, refresh = 0)
hdi(m10.6a)

Tabelle 10.11: m10.6a mit geänderter Referenzkategorie; die Effekte der UVs bleiben gleich.

Highest Density Interval

Parameter	95% HDI
(Intercept)	[ 4995.96, 5163.35]
speciesAdelie	[-1496.65, -1272.09]
speciesChinstrap	[-1479.17, -1201.95]

10.8 y ~ x1 + x2

10.8.1 Forschungsfrage

Stehen sowohl der IQ der Mutter als auch, unabhängig davon, das Alter der Mutter im Zusammenhang mit dem IQ des Kindes?

• Das ist wieder eine deskriptive Forschungsfrage. Keine Kausalwirkung (etwa “IQ der Mutter ist die Ursache zum IQ des Kindes”) wird impliziert.
• Es geht rein darum, Zusammenhänge in den Daten - bzw. in der Population - aufzuzeigen.
• Viele Forschungsfagen gehen allerdings weiter und haben explizit Kausalwirkungen im Fokus. Für solche Fragen ist eine deskriptive Untersuchung nicht geeignet, sondern eine Kausalanalyse ist nötig.

10.8.2 Was heißt, X hängt mit Y zusammen?

• Der Begriff “Zusammenhang” ist nicht exakt.
• Häufig wird er (für metrische Variablen) verstanden als
  • lineare Korrelation \(\rho\) bzw. \(r\)
  • lineare Regression \(\beta\), bzw. \(b\)
• Der Regressionskoeffizient
  • misst die Steigung der Regressionsgerade
  • zeigt, wie groß der vorhergesagte Unterschied in Y, wenn man zwei Personen (Beobachtungseinheiten) vergleicht, die sich um eine Einheit in X unterscheiden
  • wird manchmal mit dem “Effekt von X auf Y” übersetzt. Vorsicht: “Effekt” klingt nach Kausalzusammenhang. Eine Regression ist keine hinreichende Begründung für einen Kausalzusammenhang.
• Der Korrelationskoeffizient
  • misst eine Art der Stärke des linearen Zusammenhangs
  • zeigt, wie klein die Vorhersagefehler der zugehörigen Regrssion im Schnitt sind.
  • Korrelation ist nicht (automatisch) Kausation.

Es ist hilfreich, sich die Korrelationen zwischen den (metrischen) Variablen zu betrachten, bevor man ein (Regressions-)Modell aufstellt.

kidiq %>% 
  correlation()

Correlation Matrix (pearson-method)

Parameter1	Parameter2	r	95% CI	t(432)	p
kid_score	mom_hs	0.24	(0.15, 0.32)	5.07	< .001***
kid_score	mom_iq	0.45	(0.37, 0.52)	10.42	< .001***
kid_score	mom_age	0.09	(-2.15e-03, 0.18)	1.92	0.166
kid_score	mom_iq_c	0.45	(0.37, 0.52)	10.42	< .001***
mom_hs	mom_iq	0.28	(0.19, 0.37)	6.13	< .001***
mom_hs	mom_age	0.21	(0.12, 0.30)	4.57	< .001***
mom_hs	mom_iq_c	0.28	(0.19, 0.37)	6.13	< .001***
mom_iq	mom_age	0.09	(-2.54e-03, 0.18)	1.91	0.166
mom_iq	mom_iq_c	1.00	(1.00, 1.00)	1.39e+09	< .001***
mom_age	mom_iq_c	0.09	(-2.54e-03, 0.18)	1.91	0.166

p-value adjustment method: Holm (1979) Observations: 434

Tabelle 10.12 zeigt die Korrelationsmatrix als Korrelationsmatrix:

kidiq %>% 
  correlation() %>% 
  summary()

Tabelle 10.12: Die Korrelationen zwischen den Variablen der Tabelle kidiq

Correlation Matrix (pearson-method)

Parameter	mom_iq_c	mom_age	mom_iq	mom_hs
kid_score	0.45***	0.09	0.45***	0.24***
mom_hs	0.28***	0.21***	0.28***
mom_iq	1.00***	0.09
mom_age	0.09

p-value adjustment method: Holm (1979)

Nützlich ist auch die Visualisierung der Korrelationstabelle als Heatmap, Abbildung 10.15.

kidiq %>% 
  correlation() %>% 
  summary() %>% 
  plot()

Abbildung 10.15: Visualisierung der Korrelationsmatrix als Heatmap

10.8.3 Univariate Regressionen

Wir berechnen jeweils eine univariate Regression, pro Prädiktor, also eine für mom_iq und eine für mom_age.

m10.7 <- stan_glm(kid_score ~ mom_iq, data = kidiq, refresh = 0)
m10.8 <- stan_glm(kid_score ~ mom_age, data = kidiq, refresh = 0)

Hier die Ergebnisse für mom_iq:

coef(m10.7)
## (Intercept)      mom_iq 
##  25.8391162   0.6098131

Hier die Ergebnisse für mom_age:

coef(m10.8)
## (Intercept)     mom_age 
##  70.8238169   0.6985862

10.8.4 Visualisierung der univariaten Regressionen

In Abbildung 10.16 ist die univariate Regression mit jeweils einem der beiden Prädiktoren dargestellt.

m10.7: Die Steigung beträgt 0.6. m10.8: Die Steigung beträgt 0.7.

Abbildung 10.16: Zwei univariate Regressionen

Univariate Regressionen

10.8.5 Multiples Modell (beide Prädiktoren), m10.9

m10.9 stellt das multiple Regressionsmodell dar; multipel bedeutet in diesem Fall, dass mehr als ein Prädiktor im Modell aufgenommen ist.

m10.9 <- stan_glm(kid_score ~ mom_iq + mom_age, 
                  data = kidiq, 
                  refresh = 0)
coef(m10.9)
## (Intercept)      mom_iq     mom_age 
##  17.6991147   0.6032193   0.3836940

Wichtig

Die Regressionsgewichte unterscheiden sich zu den von den jeweiligen univariaten Regressionen.

• Bei einer multiplen Regression ist ein Regressionsgewicht jeweils “bereinigt” vom Zusammenhang mit dem (oder den) anderen Regressionsgewicht.
• Das bedeutet, man betrachtet den den Zusammenhang eines Prädiktors mit der AV, wobei man gleichzeitig den anderen Prädiktor konstant hält.

coef(m10.9)
## (Intercept)      mom_iq     mom_age 
##  17.6991147   0.6032193   0.3836940

10.8.6 3D-Visualisierung eines Modells mit zwei Prädiktoren 1

In Abbildung 10.17 ist das Modell m10.9 in 3D dargestellt via Plotly.

Abbildung 10.17: 3D-Visualisierung von m10.9 (zwei Prädiktoren)

10.8.7 Visualisierung mit Farbe statt 3. Dimension

3D-Visualisierungen haben Vorteile, aber auch Nachteile; Abbildung 10.18 zeigt eine alternative Visualisierung, in der die 3. Dimension durch eine Farbschattierung ersetzt ist.

Abbildung 10.18: Modell m10.9; die Farbverläufe zeigen der Wert der abhängigen Variablen

Auf der Achse von mom_iq erkennt man deutlich (anhand der Farbänderung) die Veränderung für die AV (kid_score). Auf der Achse für mom_age sieht man, dass sich die AV kaum ändert, wenn sich mom_age ändert.

10.8.8 Visualisierung in 10 Dimensionen

Abbildung 10.19 visualisiert den Zusammenhang von 10 Variablen untereinander.

Abbildung 10.19: So sieht der Zusammenhang im 10-dimensionalen Raum aus

Leider macht mein Hirn hier nicht mit. Unsere Schwächen, eine große Zahl an Dimensionen zu visualisieren, ist der Grund, warum wir mathematische Modelle brauchen.

Daher kann man ein Modell verstehen als eine Zusammenfassung eines (ggf. hochdimensionalen) Variablenraums.

10.8.9 Relevanz der Prädiktoren

Woher weiß man, welcher Prädiktor am stärksten mit der AV zusammenhängt? Man könnte auch sagen: Welcher Prädiktor (welche UV) am “wichtigsten” ist oder den “stärksten Einfluss” auf die AV ausübt? Bei solchen kausal konnotierten Ausdrücken muss man vorsichtig sein: Die Regressionsanalyse als solche ist keine Kausalanalyse. Die Regressionsanalyse - wie jede statistische Methoden - kann für sich nur Muster in den Daten, also Zusammenhänge bzw. Unterschiede, entdecken, s. Abbildung 10.20.

Abbildung 10.20: Made at imgflip.com

Welcher Prädiktor ist nun “wichtiger” oder “stärker” in Bezug auf den Zusammenhang mit der AV, mom_iq oder mom_age (Modell m10.9)?

• mom_iq hat den größeren Koeffizienten.
• mom_age hat weniger Streuung.

Um die Relevanz der Prädiktoren vergleichen zu können, müsste man vielleicht die Veränderung von kid_score betrachten, wenn man von kleinsten zum größten Prädiktorwert geht. Allerdings sind Extremwerte meist instabil (da sie von einer einzigen Beobachtung bestimmt werden). Sinnvoller ist es daher, die Veränderung in der AV zu betrachten, wenn man den Prädiktor von “unterdurchschnittlich” auf “überdurchschnittlich” ändert. Das kann man mit z-Standardisierung erreichen.

10.8.10 z-Standardisierung

z-Standardisierung bedeutet, eine Variable so zu transformieren, dass sie über einen Mittelwert von 0 und eine SD von 1 verfügt:

\[z = \frac{x - \bar{x}}{sd(x)}\]

kidiq2 <- 
  kidiq %>% 
  mutate(mom_iq_z = ((mom_iq - mean(mom_iq)) / sd(mom_iq)))  %>% 
  select(mom_iq, mom_iq_z) %>% 
  head()

Der Nutzen von Standardisieren (dieser Art) ist die bessere Vergleichbarkeit von Variablen, die (zuvor) verschiedene Mittelwerte und Streuungen hatten¹⁴. Die Standardisierung ist ähnlich zur Vergabe von Prozenträngen: “Dieser Messwert gehört zu den Top-3-Prozent”. Diese Aussage ist bedeutsam für Variablen mit verschiedenem Mittelwert und Streuung. So werden vergleichende Aussagen für verschiedene Verteilungen möglich.

10.8.11 Statistiken zu den z-transformierten Variablen

Tabelle 10.3 zeigt die Verteilung der (metrischen) Variablen im Datensatz kidiq.

Metrische Variablen in z-Werte zu transformieren, hat verschiedenen Vorteile:

• der Achsenabschnitt ist einfacher zu interpretieren (da er sich dann auf ein Objekt mit mittlerer Ausprägung bezieht)
• Interaktionen sind einfacher zu interpretieren (aus dem gleichen Grund)
• Prioriwerte sind einfacher zu definieren (wieder aus dem gleichen Grund)
• die Effekte verschiedener Prädiktoren sind einfacher in ihrer Größe zu vergleichen, da dann mit gleicher Skalierung/Streuung
• kleine und ähnlich große Wertebereich erleichtern dem Golem die Rechenarbeit

Man kann die z-Transformation (“Skalierung”) mit standardize (aus easystats) durchführen, s. Tabelle 10.13.

kidiq_z <- 
  standardize(kidiq, append = TRUE)  # z-transformiert alle numerischen Werte

Tabelle 10.13: z-transformierte Variablen im Datensatz kidiq (erste paar Zeilen)

kid_score	mom_hs	mom_iq	mom_age	mom_iq_c	pred_m10.9	kid_score_z	mom_hs_z	mom_iq_z	mom_age_z	mom_iq_c_z	pred_m10.9_z
65	1	121.12	27	21.12	101.12	-1.07	0.52	1.41	1.56	1.41	1.56
98	1	89.36	25	-10.64	81.20	0.55	0.52	-0.71	0.82	-0.71	-0.61
85	1	115.44	27	15.44	97.70	-0.09	0.52	1.03	1.56	1.03	1.19
83	1	99.45	25	-0.55	87.28	-0.19	0.52	-0.04	0.82	-0.04	0.06
115	1	92.75	27	-7.25	84.00	1.38	0.52	-0.48	1.56	-0.48	-0.30
98	0	107.90	18	7.90	89.69	0.55	-1.91	0.53	-1.77	0.53	0.32

Der Schalter append = TRUE sorgt dafür, dass die ursprünglichen Variablen beim z-Standardisieren nicht überschrieben werden, sondern angehängt werden (mit einem Suffix _z).

Man kann auch nur einzelne Variablen mit standardize standardisieren, indem man das Argument select nutzt.

kidiq %>% 
  standardize(select = c("mom_iq", "mom_age", "kid_score"))

Man kann das Standardisieren auch von Hand machen, ohne ein Extra-Paket, s. Tabelle 10.14. Dazu verwendet man den Befehl scale().

kidiq %>% 
  mutate(mom_iq_z2 = scale(mom_iq),
         mom_age_z2 = scale(mom_age),
         kid_score_z2 = scale(kid_score))

Tabelle 10.14: Z-Standardisierung ohne Extrapaket”

10.9 y_c ~ x1_c + x2_c

10.9.1 AV z-transformieren

In diese Abschnitt berechnen wir ein Modell (Modell m10.10), in dem die Prädiktoren z-transformiert sind (standardisiert) und die AV ebenfalls. Das Standardisieren der AV, kid_score ist zwar nicht nötig, um den Effekt der Prädiktoren (UV) auf die AV zu untersuchen. Standardisiert man aber die AV, so liefern die Regressionskoeffizienten (Betas) Aussage darüber, um wie viele SD-Einheiten sich die AV verändert, wenn sich ein Prädiktor um eine SD-Einheit verändert. Das kann auch eine interessante(re) Aussage sein.

m10.10 <- stan_glm(kid_score_z ~ mom_iq_z + mom_age_z, 
                   data = kidiq_z, 
                   refresh = 0)
coef(m10.10)
##  (Intercept)     mom_iq_z    mom_age_z 
## 0.0006495081 0.4436106742 0.0521111023

• Der Achsenabschnitt gibt den Mittelwert der AV (kid_score) an, da kid_score_z = 0 identisch ist zum Mittelwert von kid_score.
• Der Koeffizient für mom_iq_z gibt an, um wie viele SD-Einheiten sich kid_score (die AV) ändert, wenn sich mom_iq um eine SD-Einheit ändert.
• Der Koeffizient für mom_age_z gibt an, um wie viele SD-Einheiten sich kid_score (die AV) ändert, wenn sich mom_age um eine SD-Einheit ändert.

Jetzt sind die Prädiktoren in ihrer Relevanz (Zusammenhang mit der AV) vergleichbar:

• Man sieht, dass die Intelligenz der Mutter deutlich wichtiger ist das Alter der Mutter (im Hinblick auf die Vorhersage bzw. den Zusammenhang mit mit der AV).

10.9.2 95%-PI

Mit parameters können wir uns ein PI für m10.10 ausgeben lassen, s. Abbildung 10.21; im Standard wird ein 95%-ETI berichtet¹⁵.

parameters(m10.10) 

Parameter	Median	95% CI	pd	Rhat	ESS	Prior
(Intercept)	6.50e-04	(-0.08, 0.09)	50.52%	0.999	4208.00	Normal (-2.81e-16 +- 2.50)
mom_iq_z	0.44	(0.36, 0.53)	100%	1.000	4372.00	Normal (0.00 +- 2.50)
mom_age_z	0.05	(-0.03, 0.14)	88.33%	1.000	4410.00	Normal (0.00 +- 2.50)

plot(eti(m10.10)) + scale_fill_okabeito()

Abbildung 10.21: Im Standard wird ein 95%-Intervall gezeigt bzw. berechnet; hier das ETI für m10.10

10.9.3 Modellgüte

r2(m10.10)
## # Bayesian R2 with Compatibility Interval
## 
##   Conditional R2: 0.204 (95% CI [0.141, 0.270])

Ist dieser Wert von \(R2\) “gut”? Diese Frage ist ähnlich zur Frage “Ist das viel Geld?”; man kann die Frage nur im Kontext beantworten.

Eine einfache Lösung ist immer, Modelle zu vergleichen. Dann kann man angeben, welches Modell die Daten am besten erklärt, z.B. auf Basis von \(R^2\).

Zu beachten ist, dass das Modell theoretisch fundiert sein sollte. Vergleicht man viele Modelle aufs Geratewohl, so muss man von zufällig hohen Werten der Modellgüte im Einzelfall ausgehen.

Wenn Sie aber unbedingt eine “objektive” Antwort auf die Frage “wie viel ist viel?” haben wollen, ziehen wir Herrn Cohen zu Rate, der eine Antwort auf die Frage “Wieviel ist viel?” gegeben hat (Cohen, 1992):

interpret_r2(0.2)  # aus `easystats`
## [1] "moderate"
## (Rules: cohen1988)

Danke, Herr Cohen!

10.9.4 Priori-Verteilung für m10.10 und Modelldefinition

Stan hat für uns folgende Prioris ausgesucht:

prior_summary(m10.10)  # aus rstanarm
## Priors for model 'm10.10' 
## ------
## Intercept (after predictors centered)
##  ~ normal(location = -2.8e-16, scale = 2.5)
## 
## Coefficients
##  ~ normal(location = [0,0], scale = [2.5,2.5])
## 
## Auxiliary (sigma)
##  ~ exponential(rate = 1)
## ------
## See help('prior_summary.stanreg') for more details

🤖 Nix zu danken!

Wie gesagt, Stan nimmt dafür einfach die empirischen Mittelwerte und Streuungen her¹⁶.

Stans Ausgabe kann man in Mathe-Sprech so darstellen, s. Gleichung 10.4.

\[ \begin{aligned} \text{kidscore} &\sim \mathcal{N}(0,2.5)\\ \mu_i &= \alpha + \beta_1\text{momiq}_i + \beta_2\text{momage}_i \\ \alpha &\sim \mathcal{N}(0,2.5)\\ \beta_1 &\sim \mathcal{N}(0,2.5)\\ \beta_2 &\sim \mathcal{N}(0,2.5)\\ \sigma &\sim \mathcal{E}(1) \end{aligned} \tag{10.4}\]

Man beachte, dass der Achsenabschnitt zur Intelligenz der Kinder auf Null festgelegt wird: Bei mittlerer Intelligenz und mittlerem Alter der Mutter wird mittlere Intelligenz des Kindes erwartet in m10.10. Dadurch, dass nicht nur UV, sondern auch AV zentriert (und in der Streuung auf 1 standardisiert) sind, ist der Mittelwert der AV Null.

Schreibt man einen Bericht, so bietet es sich an, die Modelldefinition zumindest im Anhang aufzuführen.

Beispiel 10.3 (Anzahl der Modellparameter) Wie viele Modellparameter hat m10.10?¹⁷

10.9.5 Beantwortung der Forschungsfrage

Das Modell spricht sich klar für einen statistischen, linearen Effekt von Intelligenz der Mutter auf die Intelligenz des Kindes aus, wenn das Alter der Mutter statistisch kontrolliert wird (95%PI: [0.38, 0.51]). Hingegen zeigt das Modell, dass das Alter der Mutter statistisch eher keine Rolle spielt (95%PI: [-0.02, 0.12]). Alle Variablen wurden z-transformiert. Insgesamt erkärt das Modell im Median einen Anteil von ca. 0.2 an der Varianz der Kinderintelligenz. Das Modell griff auf die Standard-Priori-Werte aus dem R-Paket rstanarm (Goodrich et al., 2020) zurück (s. Anhang für Details).

Wichtig

Hier wird von einem “statistischen Effekt” gesprochen, um klar zu machen, dass es sich lediglich um assoziative Zusammenhänge, und nicht um kausale Zusammenhänge, handelt. Kausale Zusammenhänge dürfen wir nur verkünden, wenn wir sie a) explizit untersuchen, b) sich in der Literatur Belege dafür finden oder c) wir ein Experiment fachgerecht durchgeführt haben.

10.10 Vertiefung

🏎️VERTIEFUNG, nicht prüfungsrelevant🏎️

10.10.1 Verwandtheit von Korrelation und Regression

Sind X und Y z-standardisiert, so sind Korrelation und Regression identisch, s. Gleichung 10.5.

\[b = r \frac{sd_x}{sd_y} \tag{10.5}\]

Berechnen wir dazu ein einfaches Modell mit z-standardisierten Variablen und betrachten die Punktschätzer für die Regressionskoeffizienten:

m10.11 <- 
  stan_glm(kid_score_z ~ mom_iq_z , data = kidiq_z, refresh = 0)
coef(m10.11)
## (Intercept)    mom_iq_z 
##  0.00081555  0.44757967

Vergleichen Sie diese Werte mit der Korrelation, s. Tabelle 10.15.¹⁸

kidiq_z %>% 
  select(kid_score, mom_iq, kid_score_z, mom_iq_z) %>% 
  correlation() |> 
  display()

Tabelle 10.15: Correlation Matrix (pearson-method)

Parameter1	Parameter2	r	95% CI	t(432)	p
kid_score	mom_iq	0.45	(0.37, 0.52)	10.42	< .001***
kid_score	kid_score_z	1.00	(1.00, 1.00)	Inf	< .001***
kid_score	mom_iq_z	0.45	(0.37, 0.52)	10.42	< .001***
mom_iq	kid_score_z	0.45	(0.37, 0.52)	10.42	< .001***
mom_iq	mom_iq_z	1.00	(1.00, 1.00)	Inf	< .001***
kid_score_z	mom_iq_z	0.45	(0.37, 0.52)	10.42	< .001***

p-value adjustment method: Holm (1979) Observations: 434

Korrelationen der z-transformierten Variablen im Datensatz kidiq

10.10.2 Prüfen der Linearitätsannahme

Zentrale Annahme eines linearen Modells: Die AV ist eine lineare Funktion der einzelnen Prädiktoren, s. Gleichung 10.6.

\[y= \alpha + \beta_1x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots \tag{10.6}\]

Hingegen ist es weniger wichtig, dass die AV (y) normalverteilt ist. Zwar nimmt die Regression häufig normalverteilte Residuen an¹⁹, aber diese Annahme ist nicht wichtig, wenn es nur darum geht, die Regressionskoeffizienten zu schätzen (Gelman et al., 2021).

Ist die Linearitätsannahme erfüllt, so sollte der Residualplot nur zufällige Streuung um \(y=0\) herum zeigen, s. Abbildung 10.22.

Ein Residuum \(e\) ist der Vorhersagefehler, also die Differenz zwischen vorhergesagtem und tatsächlichem Wert:

\(e_i = y_i - \hat{y}_i\)

kidiq <-
  kidiq %>% 
  mutate(m10.10_pred = predict(m10.10),  # vorhergesagten Werte
         m10.10_resid = resid(m10.10))  # Residuen

kidiq %>% 
  ggplot(aes(x = m10.10_pred, y = m10.10_resid)) +
  geom_hline(color="white", yintercept = 0, size = 2) +
  geom_hline(color = "grey40", 
             yintercept = c(-1,1), 
             size = 1, 
             linetype = "dashed") +
  geom_point(alpha = .7) +
  geom_smooth()

Abbildung 10.22: Die Verteilung der Fehler scheint keinem starken Trend (in Abhängigkeit zum vorhergesagten Wert) zu folgen, was ein gutes Zeichen ist.

Hier erkennt man keine größeren Auffälligkeiten.

10.10.3 Modellprüfung mit der PPV

pp_check(m10.10)

Unser Modell - bzw. die Stichproben unserer Posteriori-Verteilung, \(y_{rep}\) verfehlt den Mittelwert von \(y\) leider recht häufig.

10.10.4 Visualisierung der bereinigten Regressionskoeffizienten

Abbildung 10.23: Bereinigte Regressionskoeffizienten

Abbildung 10.23 zeigt in der oberen Reihe die Regression eines Prädiktors auf den anderen Prädiktor. Untere Reihe: Regression der Residuen der oberen Reihe auf die AV, kid-score_z. Unten links (C): Die Residuen von mom_iq_c sind kaum mit der AV assoziiert. Das heißt, nutzt man den Teil von mom_age_z, der nicht mit mom_iq_z zusammenhängt, um kid_score vorher zusagen, findet man keinen (kaum) Zusammenhang. Unten rechts (D): Die Residuen von mom_age_c sind stark mit der AV assoziiert. Das heißt, nutzt man den Teil von mom_iq_z, der nicht mit mom_age_z zusammenhängt, um kid_score vorher zusagen, findet man einen starken Zusammenhang.

Eine multiple Regression liefert die gleichen Regressionskoeffizienten wie die Modelle aus Teildiagrammen (C) und (D).

10.10.5 Bayesianisch gleich Frequentistisch?

Übrigens liefern stan_glm() und lm oft ähnliche Ergebnisse (bei schwach informativen Prioriwerten):

stan_glm(mpg ~ hp + cyl, data = mtcars, refresh = 0) %>% coef()
## (Intercept)          hp         cyl 
## 36.87617737 -0.01903992 -2.25292557

lm(mpg ~ hp + cyl, data = mtcars) %>% coef()
## (Intercept)          hp         cyl 
##  36.9083305  -0.0191217  -2.2646936

Wichtig

Wenn auch die Ergebnisse eines Frequentistischen und Bayes-Modell numerisch ähnlich sein können, so ist doch die Interpretation grundverschieden. Bayesmodelle erlauben Wahrscheinlichkeitsaussagen zu den Parametern, Frequentistische Modelle nicht.

10.11 Fazit

10.11.1 Austieg: Bayes in fünf Minuten

Eine Kurzdarstellung des Bayes-Inferenz findet sich in diesem Post und in diesem.

📺 Musterlösung und Aufgabe im Detail besprochen - Bayes-Modell: mtcars

📺 Musterlösung und Aufgabe im Detail besprochen - Bayes-Modell: CovidIstress

10.11.2 Ausblick: Binäre AV

Forschungsfrage: Kann man anhand des Spritverbrauchs vorhersagen, ob ein Auto eine Automatik- bzw. ein manuelle Schaltung hat? Anders gesagt: Hängen Spritverbrauch und Getriebeart? (Datensatz mtcars)

Dazu nutzen wir den Datensatz mtcars, wobei wir die Variablen z-standardisieren.

data(mtcars)
mtcars2 <-
  mtcars %>% 
  standardize(append = TRUE)

Dann berechnen wir mit Hilfe von Stan ein Regressionsmodell: m13: am ~ mpg_z:

m13 <-
  stan_glm(am ~ mpg_z, 
           data = mtcars2, 
           refresh = 0)
coef(m13)
## (Intercept)       mpg_z 
##   0.4083910   0.2978925

Ab mpg_z = 0.41, 0.3 sagt das Modell am=1 (manuell) vorher. Ganz ok.

mtcars2 %>% 
  ggplot(aes(x = mpg_z, y = am)) +
  geom_hline(yintercept = 0.5, color = "white", size = 2) +
  geom_point() +
  geom_abline(intercept = coef(m13)[1],
              slope = coef(m13)[2],
              color = "blue") 

neg_am <- predict(m13, newdata = tibble(mpg_z = -1.3))

Für kleine Werte von mpg_z (<1.3) sagt unser Modell negative Werte für am voraus. Das macht keinen Sinn: Es gibt keine negative Werte von am, nur 0 und 1. Müssen wir mal bei Gelegenheit besser machen.

10.11.3 Genug für heute

Wir waren fleißig …

Quelle

Wichtig

Kontinuierliches Lernen ist der Schlüssel zum Erfolg.

Genug für heute. 👍

10.11.4 Weiterführende Literatur

Weiter Hinweise zu den Themen dieses Kapitels dazu finden sich bei Gelman et al. (2021), Kap. 10, insbesondere 10.3.

Gelman et al. (2021) bieten einen Zugang mittleren Anspruchs zur Regressionsmodellierung. Das Buch ist von einem weltweit führenden Statistiker geschrieben und vermittelt tiefe Einblicke bei gleichzeitig überschaubarem mathematischen Aufwand.

Für das vorliegende Kapitel sind insbesondere daraus die Kapitel 6,7, und 10 relevant.

10.12 Aufgaben

1. Anova-skalenniveau
2. Nullhyp-Beispiel
3. ttest-skalenniveau
4. Griech-Buchstaben-Inferenz
5. Interaktionseffekt1
6. Regression2
7. Regression3
8. diamonds-nullhyp-mws
9. stan_glm_parameterzahl
10. stan_glm_prioriwerte
11. zwert-berechnen
12. Regr-Bayes-interpret
13. Regr-Bayes-interpret03
14. Regr-Bayes-interpret02
15. rope4

10.13 —

Cohen, J. (1992). A Power Primer. Psychological Bulletin, 112(1), 155–159.

Gelman, A., Hill, J., & Vehtari, A. (2021). Regression and Other Stories. Cambridge University Press.

Goodrich, B., Gabry, J., Ali, I., & Brilleman, S. (2020). Rstanarm: Bayesian Applied Regression Modeling via Stan. https://mc-stan.org/rstanarm

McElreath, R. (2020). Statistical Rethinking: A Bayesian Course with Examples in R and Stan (2. Aufl.). Taylor and Francis, CRC Press.

---

1. Hier ist eine kurze Erklärung dazu: https://statistik1.netlify.app/010-rahmen#sec-arten-variablen

2. Hier finden Sie eine kurze Erklärung zur Interaktion: https://statistik1.netlify.app/090-regression2#interaktion

3. auch DAG genannt, s. Kapitel 11

4. Häufig erlaubt uns unser Vorwissen eine gerichtete Hypothese - “größer als/kleiner als” - zu formulieren, anstelle der hier verwendeteten “empirisch ärmeren” einfachen, ungerichteten Ungleichheit. Schöner wäre natürlich noch präziser als “Ich erwarte einen größeren Wert”, also z.B. “Ich erwarte einen Wert von 42!”

5. unknown, sozusagen der unbekannte Gott, also für alle sonstigen Einflüsse; man kann das “u” ohne Schaden weglassen, da wir es sowieso nicht modellieren. Hier ist es nur aufgeführt, um zu verdeutlichen, dass wir nicht so verwegen sind, zu behaupten, es gäbe keine anderen Einflüsse als mom_hs auf die IQ des Kindes.

6. Genauer gesagt wird geprüft, wie wahrscheinlich es auf Basis des Modell ist, noch extremere Ergebnisse zu beachten unter der Annahme, dass die (exakte) Nullhypothese wahr ist. Es ist etwas kompliziert.

7. Genauer gesagt, erlaubt der t-Test in der Form des Welche-Tests auch Abweichungen von der Varianzhomogenität der gestesten Gruppen. Die Regression geht hingegen von Varianzhomogenität (Homoskedastizität) aus. Allerdings ist diese Annahme nicht von besonderer Bedeutung, wenn es um die Regressionskoeffizienten geht.

8. komfortabler geht es mit eti(m10.1).

9. DAG, s. Kapitel 11

10. Dabei nehmen wir an, dass x und u nicht voneinander abhängen, was man daran erkennt, dass es keine Pfeile zwischen den beiden Variablen gibt.

11. Vgl. Abschnitt “UV zentrieren” im Kursbuch Statistik1.

12. auch ETI (Equal Tails Interval) genannt

13. s. Details hier.

14. am nützlichsten ist diese Standardisierung bei normal verteilten Variablen.

15. Zumindest zur Zeit als ich diese Zeilen schreibe. Achtung: Voreinstellungen können sich ändern. Am besten in der Dokumentation nachlesen: ?parameters.

16. Nicht unbedingt die feine bayesianische Art, denn die Prioris sollten ja eigentlich apriori, also vor Kenntnis der Daten, bestimmt werden. Auf der anderen Seite behauptet Stan, von uns zur Rede gestellt, dass die empirischen Mittelwerte ja doch gute Schätzer der echten Parameter sein müssten, wenn die Stichprobe, die wir ihm angeschleppt hätten, tatsächlich gut ist…

17. 4: \(\alpha, \beta_1, \beta_2, \sigma\)

18. Ignorieren Sie die Zeile mit dem Befehl display(). Dieser Befehl dient nur dazu, die Ausgabe zu verschönern in Markdown-Dokumenten, wie im Quelltext dieses Kapitels.

19. was auf normal verteilte AV hinauslaufen kann aber nicht muss