14  Die Atome der Kausalität

Schlüsselwörter

Statistik, Bayes, Wahrscheinlichkeit, Inferenz, R, Kausalität

14.1 Lernsteuerung

Für dieses Kapitel benötigen Sie folgende R-Pakete:

library(tidyverse)
library(rstanarm)
library(easystats)

Wir nutzen wieder den Datensatz Saratoga County¹; s. Tabelle 13.3. Hier gibt es eine Beschreibung des Datensatzes².

Sie können ihn entweder über die Webseite herunterladen:

SaratogaHouses_path <- paste0(
  "https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/",
  "csv/mosaicData/SaratogaHouses.csv")

d <- read.csv(SaratogaHouses_path)

Oder aber über das Paket mosaic importieren:

data("SaratogaHouses", package = "mosaicData")
d <- SaratogaHouses  # kürzerer Name, das ist leichter zu tippen

Alternativ können Sie ihn hier herunterladen:

Nach Absolvieren des jeweiligen Kapitels sollen folgende Lernziele erreicht sein.

Sie können …

• erklären, wann eine Kausalaussage gegeben eines DAGs berechtigt ist
• erklären, warum ein statistisches Modell ohne Kausalmodell zumeist keine Kausalaussagen treffen kann
• die “Atome” der Kausalität eines DAGs benennen
• “kausale Hintertüren” schließen

Dieses Kapitel vermittelt die Grundlagen der Kausalinferenz mittels graphischer Modelle. Ähnliche Darstellungen wie in diesem Kapitel finden sich bei Rohrer (2018).

Hinweis

Die Folien zu diesem Kapitel finden Sie hier.

14.2 Kollision

📺 Kollision

14.2.1 Kein Zusammenhang von Intelligenz und Schönheit (?)

Gott ist gerecht (?)³ Zumindest findet sich in folgenden Daten kein Zusammenhang von Intelligenz (talent) und Schönheit (looks), wie Abbildung 14.1 illustriert. Für geringe Intelligenzwerte gibt es ein breites Spektrum von Schönheitswerten und für hohe Intelligenzwerte sieht es genauso aus.

Abbildung 14.1: Kein Zusammenhang von Schlauheit und Schönheit in den Daten

14.2.2 Aber Ihre Dates sind entweder schlau oder schön

Seltsamerweise beobachten Sie, dass die Menschen, die Sie daten (Ihre Dates), entweder schön sind oder schlau – aber selten beides gleichzeitig (schade), s. Abbildung 14.2.

Abbildung 14.2: Ihre Datingpartner sind komischerweise entweder schlau oder schön (aber nicht beides), zumindest in der Tendenz.

Wie kann das sein?

14.2.3 DAG zur Rettung

Der DAG in Abbildung 14.3 bietet eine rettende Erklärung.

Abbildung 14.3: Date als gemeinsame Wirkung von Schönheit und Intelligenz. Stratifiziert man die gemeinsame Wirkung (dates), so kommt es zu einer Scheinkorrelation zwischen Schönheit und Intelligenz.

Eine ähnliche Visualisierung des gleichen Sachverhalts zeigt Abbildung 14.4.

Abbildung 14.4: Durch Kontrolle der gemeinsamen Wirkung entsteht eine Scheinkorrelation zwischen den Ursachen

14.2.4 Was ist eine Kollision?

Definition 14.1 (Kollision) Als Kollision (Kollisionsverzerrung, Auswahlverzerrung, engl. collider) bezeichnet man einen DAG, bei dem eine Wirkung zwei Ursachen hat (eine gemeinsame Wirkung zweier Ursachen) (Pearl et al., 2016, p. 40). \(\square\)

Kontrolliert man die Wirkung m, so entsteht eine Scheinkorrelation zwischen den Ursachen x und y. Kontrolliert man die Wirkung nicht, so entsteht keine Scheinkorrelation zwischen den Ursachen, s. Abbildung 14.3, vgl. Rohrer (2018).

Wichtig

Man kann also zu viele oder falsche Prädiktoren einer Regression hinzufügen, so dass die Koeffizienten nicht die kausalen Effekte zeigen, sondern durch Scheinkorrelation verzerrte Werte.

Tipp

🙅♀️ Kontrollieren Sie keine Kollisionsvariablen. \(\square\)

14.2.5 Einfaches Beispiel zur Kollision

In der Zeitung Glitzer werden nur folgende Menschen gezeigt: a) schöne Menschen und b) reiche Menschen.
Gehen wir davon aus, dass Schönheit und Reichtum unabhängig voneinander sind.

Übungsaufgabe 14.1 Wenn ich Ihnen sage, dass Don nicht schön ist, aber in der Glitzer häufig auftaucht, was lernen wir dann über seine finanzielle Situation?⁴ \(\square\)

“Ich bin schön, unglaublich schön, und groß, großartig, tolle Gene!!!” 🧑

14.2.6 Noch ein einfaches Beispiel zur Kollision

“So langsam check ich’s!” 🧑⁵

Sei Z = X + Y, wobei X und Y unabhängig sind.

Wenn ich Ihnen sage, X = 3, lernen Sie nichts über Y, da die beiden Variablen unabhängig sind. Aber: Wenn ich Ihnen zuerst sage, Z = 10, und dann sage, X = 3, wissen Sie sofort, was Y ist (Y = 7).

Also: X und Y sind abhängig, gegeben Z: \(X \not\perp \!\!\! \perp Y \,|\, Z\).⁶

14.2.7 Durch Kontrollieren entsteht eine Verzerrung bei der Kollision

Abbildung 14.3 zeigt: Durch Kontrollieren entsteht eine Kollision, eine Scheinkorrelation zwischen den Ursachen.

Kontrollieren kann z.B. bedeuten:

• Stratifizieren: Aufteilen von date in zwei Gruppen und dann Analyse des Zusammenhangs von talent und looks in jeder Teilgruppe von date
• Kontrollieren mit Regression: Durch Aufnahme von date als Prädiktor in eine Regression zusätzlich zu looks mit talent als Prädiktor

Ohne Kontrolle von date entsteht keine Scheinkorrelation zwischen Looks und Talent. Der Pfad (“Fluss”) von Looks über date nach Talent ist blockiert.

Kontrolliert man date, so öffnet sich der Pfad Looks -> date -> talent und die Scheinkorrelation entsteht: Der Pfad ist nicht mehr “blockiert”, die Korrelation kann “fließen” – was sie hier nicht soll, denn es handelt sich um Scheinkorrelation.

Das Kontrollieren von date erfolgt zumeist durch das Bilden einer Teilgruppe (Auswahl).

14.2.8 IQ, Fleiss und Eignung fürs Studium

Sagen wir, über die Eignung für ein Studium würden nur (die individuellen Ausprägungen) von Intelligenz (IQ) und Fleiss entscheiden, s. den DAG in Abbildung 14.5.

Abbildung 14.5: Kollisionsstruktur im Dag zur Studiumseignung

Bei positiver eignung wird ein Studium aufgenommen (studium = 1), ansonsten nicht (studium = 0).

Quelle

eignung (fürs Studium) sei definiert als die Summe von iq und fleiss, plus etwas Glück, s. Listing 14.1.

Listing 14.1: Eignung ist die Summe von Fleiss und Intelligenz, plus ein Quentchen Glück

set.seed(42)  # Reproduzierbarkeit
N <- 1e03  

d_eignung <-
tibble(
  iq = rnorm(N),  # normalverteilt mit MW=0, sd=1
  fleiss = rnorm(N),
  glueck = rnorm(N, mean = 0, sd = .1),
  eignung = 1/2 * iq + 1/2 * fleiss + glueck,
  # nur wer geeignet ist, studiert (in unserem Modell):
  studium = ifelse(eignung > 0, 1, 0) 
  )

Laut unserem Modell setzt sich Eignung zur Hälfte aus Intelligenz und zur Hälfte aus Fleiss zusammen, plus etwas Glück.

14.2.9 Schlagzeile “Fleiß macht blöd!”

Eine Studie untersucht den Zusammenhang von Intelligenz (iq) und Fleiß (f) bei Studentis (s). Ergebnis: Ein negativer Zusammenhang!?

Berechnen wir das “Eignungsmodell”, aber nur mit Studis (studium == 1, also ohne Nicht-Studis), s. Tabelle 14.1.

m_eignung <-
  stan_glm(iq ~ fleiss, data = d_eignung |>  filter(studium == 1), refresh = 0)

hdi(m_eignung)

Tabelle 14.1: Zum Zusammenhang von Fleiss und Talent

Highest Density Interval

Parameter	95% HDI
(Intercept)	[ 0.70, 0.86]
fleiss	[-0.53, -0.36]

Abbildung 14.6 zeigt das Modell und die Daten.

Abbildung 14.6: Der Zusammenhang von Fleiss und IQ

IQ ist nicht unabhängig von Fleiß in unseren Daten, sondern abhängig. Nichtwissenschaftliche Berichte, etwa in einigen Medien, greifen gerne Befunde über Zusammenhänge auf und interpretieren die Zusammenhänge – oft vorschnell – als kausal. (Ehrlicherweise muss man zugeben, dass auch wissenschaftliche Berichte Daten über Zusammenhänge gerne kausal interpretieren, oft vorschnell.)

14.2.10 Kollisionsverzerrung nur bei Stratifizierung

Definition 14.2 (Stratifizieren) Durch Stratifizieren wird eine Stichprobe in (homogene) Untergruppen unterteilt (sog. Strata). \(\square\)

Nur durch das Stratifizieren (Aufteilen in Subgruppen, Kontrollieren, Adjustieren) tritt die Scheinkorrelation auf, s. Abbildung 14.7.

Hinweis

Ohne Stratifizierung tritt keine Scheinkorrelation auf. Mit Stratifizierung tritt Scheinkorrelation auf.

Abbildung 14.7: Stratifizierung und Scheinkorrelation. A: Keine Stratifizierung und keine Scheinkorrelation. B: Stratifizierung und Scheinkorrelation

Wildes Kontrollieren einer Variablen – Aufnehmen in die Regression – kann genauso gut schaden wie nützen.

Nur Kenntnis des DAGs verrät die richtige Entscheidung: ob man eine Variable kontrollieren muss oder es nicht darf.

Hinweis

Nimmt man eine Variable als zweiten Prädiktor auf, so “kontrolliert” man diese Variable. Das Regressionsgewicht des ersten Prädiktors wird “bereinigt” um den Einfluss des zweiten Prädiktors; insofern ist der zweite Prädiktor dann “kontrolliert”.

14.2.11 Einfluss von Großeltern und Eltern auf Kinder

Wir wollen hier den (kausalen) Einfluss der Eltern E und Großeltern G auf den Bildungserfolg der Kinder K untersuchen.

Wir nehmen folgende Effekte an:

• indirekter Effekt von G auf K: \(G \rightarrow E \rightarrow K\)
• direkter Effekt von E auf K: \(E \rightarrow K\)
• direkter Effekt von G auf K: \(G \rightarrow K\)

Wir sind v.a. interessiert an \(G \rightarrow K\), dem direkten kausalen Effekt von Großeltern auf ihre Enkel, s. Abbildung 14.8.

Abbildung 14.8: Der kausale Effekt von Großeltern auf Enkel. Ein verlorener Fall, zumindest was den DAG betrifft

Aber was ist, wenn wir vielleicht eine unbekannte Variable übersehen haben? (S. nächster Abschnitt).

14.2.12 Der Gespenster-DAG

Es gibt “unheilbare” DAGs, nennen wir sie “Gespenster-DAGs”, in denen es nicht möglich ist, einen (unverzerrten) Kausaleffekt zu bestimmen, s. Abbildung 14.9. Letztlich sagt uns der DAG bzw. unsere Analyse zum DAG: “Deine Theorie ist nicht gut, zurück an den Schreibtisch und denk noch mal gut nach. Oder sammele mehr Daten.”

Abbildung 14.9: Der Gespenster-DAG: Eine Identifikation der Kausaleffekt ist nicht (vollständig) möglich.

U könnte ein ungemessener Einfluss sein, der auf E und K wirkt, etwa Nachbarschaft. Die Großeltern wohnen woanders (in Spanien), daher wirkt die Nachbarschaft der Eltern und Kinder nicht auf sie. E ist sowohl für G als auch für U eine Wirkung, also eine Kollisionsvariable auf diesem Pfad. Wenn wir E kontrollieren, wird es den Pfad \(G \rightarrow K\) verzerren, auch wenn wir niemals U messen.

Die Sache ist in diesem Fall chancenlos. Wir müssen diesen DAG verloren geben, McElreath (2020), S. 180; ein Gespenster-DAG. 👻

14.3 Die Hintertür schließen

Definition 14.3 (Hintertür) Eine “Hintertür” ist ein nicht-kausaler Pfad zwischen einer UV und einer AV. Ein Hintertürpfad entsteht, wenn es eine alternative Route über eine oder mehrere Variable gibt, die UV mit der AV verbindet. Dieser Pfad verzerrt die Schätzwerte des kausalen Einflusses, wenn er nicht kontrolliert wird. \(\square\)

14.3.1 Zur Erinnerung: Konfundierung

Forschungsfrage: Wie groß ist der (kausale) Einfluss der Schlafzimmerzahl auf den Verkaufspreis des Hauses?

a: livingArea, b: bedrooms, p: price

UV: b, AV: p

Das Kausalmodell ist in Abbildung 14.10 dargestellt.

Abbildung 14.10: Der Preis wird sowohl von der Zimmerzahl als auch der Wohnfläche beeinflusst

Im Regressionsmodell p ~ b wird der kausale Effekt durch die Konfundierung mit a verzerrt sein. Der Grund für die Konfundierung sind die zwei Pfade zwischen b und p:

1. \(b \rightarrow p\)
2. \(b \leftarrow a \rightarrow p\)

Beide Pfade erzeugen (statistische) Assoziation zwischen b und p. Aber nur der erste Pfad ist kausal; der zweite ist nichtkausal. Gäbe es nur den zweiten Pfad und wir würden b ändern, so würde sich p nicht ändern.

14.3.2 Gute Experimente zeigen den echten kausalen Effekt

Abbildung 14.11 zeigt eine erfreuliche Situation: Die “Hintertür” zu unserer UV (Zimmerzahl) ist geschlossen!

Ist die Hintertür geschlossen – führen also keine Pfeile in unserer UV – so kann eine Konfundierung ausgeschlossen werden.

Abbildung 14.11: Unverzerrte Schätzung des kausalen Effekts unserer UV (Zimmerzahl). Das Regressionsgewicht ist hier der unverzerrte Kausaleffekt. Es spielt keine Rolle, ob der andere Prädiktor im Modell enthalten ist. Da die beiden Prädiktoren unkorreliert sind, hat die Aufnahme des einen Prädiktors keinen Einfluss auf das Regressionsgewicht des anderen.

Die “Hintertür” der UV (b) ist jetzt zu! Der einzig verbleibende, erste Pfad ist der kausale Pfad und die Assoziation zwischen b und p ist jetzt komplett kausal.

Eine berühmte Lösung, den kausalen Pfad zu isolieren, ist ein (randomisiertes, kontrolliertes⁷) Experiment. Wenn wir den Häusern zufällig (randomisiert) eine Anzahl von Schlafzimmern (b) zuweisen könnten (unabhängig von ihrer Quadratmeterzahl, a), würde sich der Graph so ändern. Das Experiment entfernt den Einfluss von a auf b. Wenn wir selber die Werte von b einstellen im Rahmen des Experiments, so kann a keine Wirkung auf b haben. Damit wird der zweite Pfad, \(b \leftarrow a \rightarrow p\) geschlossen (“blockiert”).

Wichtig

Die Stärke von (gut gemachten) Experimente ist, dass sie kausale Hintertüren schließen. Damit erlauben sie (korrekte) Kausalaussagen. \(\square\)

14.3.3 Hintertür schließen auch ohne Experimente

Konfundierende Pfade zu blockieren zwischen der UV und der AV nennt man auch die Hintertür schließen (backdoor criterion). Wir wollen die Hintertüre schließen, da wir sonst nicht den wahren, kausalen Effekt bestimmen können.

Zum Glück gibt es neben Experimenten noch andere Wege, die Hintertür zu schließen, wie die Konfundierungsvariable a in eine Regression mit aufzunehmen.

Tipp

Kontrollieren Sie Konfundierer, um kausale Hintertüren zu schließen. \(\square\)

Warum blockt das Kontrollieren von a den Pfad \(b \leftarrow a \rightarrow p\)? Stellen Sie sich den Pfad als eigenen Modell vor. Sobald Sie a kennen, bringt Ihnen Kenntnis über b kein zusätzliches Wissen über p. Wissen Sie hingegen nichts über a, lernen Sie bei Kenntnis von b auch etwas über p. Konditionieren ist wie “gegeben, dass Sie a schon kennen…”.

\(b \perp \!\!\! \perp p \,|\,a\)

14.4 Die vier Atome der Kausalanalyse

Abbildung 14.12 stellt die vier “Atome” der Kausalinferenz dar. Mehr gibt es nicht! Kennen Sie diese vier Grundbausteine, so können Sie jedes beliebige Kausalsystem (DAG) entschlüsseln.

Abbildung 14.12: Die vier Atome der Kausalinferenz

14.4.1 Mediation

Definition 14.4 (Mediator) Einen Pfad mit drei Knoten (Variablen), die über insgesamt zwei Kanten verbunden sind, wobei die Pfeile von UV zu Mediator und von Mediator zur AV zeigen, nennt man Mediation. Der Mediator ist die Variable zwischen UV und AV (Pearl et al., 2016, p. 38). \(\square\)

Die Mediation (synonym: Wirkkette, Rohr, Kette, chain) beschreibt Pfade, in der die Kanten (eines Pfades) die gleiche Wirkrichtung haben: \(x \rightarrow m \rightarrow y\). Anders gesagt: Eine Mediation ist eine Kausalabfolge der Art \(x \rightarrow m \rightarrow y\), s. Abbildung 14.13. Die Variable in der Mitte \(m\) der Kette wird auch Mediator genannt, weil sie die Wirkung von X auf Y “vermittelt” oder überträgt. Die Erforschung von Mediation spielt eine recht wichtige Rolle in einigen Wissenschaften, wie der Psychologie.

Abbildung 14.13: Das Kausalmodell der Mediation mit x als UV, m als Mediator und Y als AV.

Beispiel 14.1 (Mediator kontrollieren?) Sollte man den Mediator m in Abbildung 14.13 kontrollieren, wenn man den Kausaleffekt von x auf y schätzen möchte?⁸ \(\square\)

Ohne Kontrollieren ist der Pfad offen: Die Assoziation “fließt” den Pfad entlang (in beide Richtungen). Kontrollieren blockt (schließt) die Kette (genau wie bei der Gabel).

Tipp

Kontrollieren Sie den Mediator nicht. Der Pfad über den Mediator ist ein “echter” Kausalpfad, keine Scheinkorrelation. \(\square\)

Wichtig

Das Kontrollieren eines Mediators ist ein Fehler, wenn man am gesamten (totalen) Kausaleffekt von UV zu AV interessiert ist. \(\square\)

Es kann auch angenommen werden, dass der Mediator nicht der einzige Weg von X zu Y ist, s. Abbildung 14.14. In Abbildung 14.14 gibt es zwei kausale Pfade von X zu Y: \(x\rightarrow m \rightarrow y\) und \(x \rightarrow y\).

Definition 14.5 (Kausaleffekt) Gibt es eine (von (praktisch) Null verschiedene) kausale Assoziation der UV auf die AV, so hängt die AV von der UV (kausal) ab. Man spricht von einem Kausaleffekt (der UV auf die AV). \(\square\)

Definition 14.6 (Totaler Effekt) Die Summe der Effekte aller (kausalen) Pfade von UV zu AV nennt man den totalen (kausalen) Effekt. \(\square\)

Definition 14.7 (Indirekter Effekt) Den (kausalen) Effekt über den Mediatorpfad (von \(X\) über \(M\) zu \(Y\)) nennt man den indirekten (kausalen) Effekt. \(\square\)

Definition 14.8 (Direkter Effekt) Ein Effekt, der nur aus dem Pfad \(x\rightarrow y\) besteht, also ohne Zwischenglieder, nennt man in Abgrenzung zum indirekten Effekt, direkten (kausalen) Effekt. \(\square\)

Abbildung 14.14: Partielle Mediation: Es gibt einen direkten Effekt (X->Y) und einen indirekten Effekt (X->M->Y).

14.4.2 Der Nachfahre

Definition 14.9 (Nachfahre) Ein Nachfahre (engl. descendent) ist eine Variable, die von einer anderen Variable beeinflusst⁹ wird, s. Abbildung 14.15. \(\square\)

Kontrolliert man einen Nachfahren d, so kontrolliert man damit zum Teil den Vorfahren (die Ursache), m. Der Grund ist, dass d Information beinhaltet über m. Hier wird das Kontrollieren von d den Pfad von x nach y teilweise öffnen, da m eine Kollisionsvariable ist.

Abbildung 14.15: Ein Nachfahre verhält sich ähnlich wie sein Vorfahre…

14.4.3 Kochrezept zur Analyse von DAGs 👨🍳

Wie kompliziert ein DAG auch aussehen mag, er ist immer aus diesen vier Atomen aufgebaut.

Hier ist ein Rezept, das Ihnen zeigt, welche Variablen Sie kontrollieren sollten und welche nicht: 📄

1. Listen Sie alle Pfade von UV (X) zu AV (Y) auf.
2. Beurteilen Sie jeden Pfad, ob er gerade geschlossen oder geöffnet ist.
3. Beurteilen Sie für jeden Pfad, ob er ein Hintertürpfad ist (Hintertürpfade haben einen Pfeil, der zur UV führt).
4. Wenn es geöffnete Hintertürpfade gibt, prüfen Sie, welche Variablen man kontrollieren muss, um den Pfad zu schließen (falls möglich).

14.5 Schließen Sie die Hintertür (wenn möglich)!

📺 Hintertür schließen

14.5.1 Hintertür: ja oder nein?

14.5.1.1 Fall 1: x->

\(\boxed{X \rightarrow}\)

Alle Pfade, die von der UV (X) wegführen, sind entweder “gute” Kausalpfade oder automatisch geblockte Nicht-Kausal-Pfade. In diesem Fall müssen wir nichts tun. Denken Sie daran, dass Sie keine Nachkommen der UV kontrollieren dürfen, da das den Kausalpfad von der UV zur AV blockieren könnte.

14.5.1.2 Fall 2: ->x

\(\boxed{\rightarrow X}\)

Alle Pfade, die zur UV hinführen, sind immer Nicht-Kausal-Pfade, Hintertüren. Diese Pfade können offen sein, dann müssen wir sie schließen. Sie können auch geschlossen sein, dann müssen wir nichts tun.

Tipp

Schließen Sie immer offene Hintertüren, um Verzerrungen der Kausaleffekte zu verhindern. \(\square\)

14.5.2 bsp1

UV: \(X\), AV: \(Y\), drei Kovariaten (A, B, C) und ein ungemessene Variable, U

Abbildung 14.16: Puh, ein schon recht komplizierter DAG

Es gibt zwei Hintertürpfade in Abbildung 14.16:

1. \(X \leftarrow U \leftarrow A \rightarrow C \rightarrow Y\), offen
2. \(X \leftarrow U \rightarrow B \leftarrow C \rightarrow Y\), geschlossen

Kontrollieren von \(A\) oder (auch) \(C\) schließt die offene Hintertür.

McElreath (2020), Kurz (2021), s. S. 186.

14.5.3 Schließen Sie die Hintertür (wenn möglich)!, bsp2

S. DAG in Abbildung 14.17: UV: \(W\), AV: \(D\)

Abbildung 14.17: Welche Variablen muss man kontrollieren, um den Effekt von W auf D zu bestimmen?

Kontrollieren Sie diese Variablen, um die offenen Hintertüren zu schließen:

• entweder \(A\) und \(M\)
• oder \(S\)

Mehr Infos¹⁰

Details finden sich bei McElreath (2020) oder Kurz (2021), S. 188.

14.5.4 Implizierte bedingte Unabhängigkeiten von bsp2

Auch wenn die Daten nicht sagen können, welcher DAG der richtige ist, können wir zumindest lernen, welcher DAG falsch ist. Die vom Modell implizierten bedingten Unabhängigkeiten geben uns Möglichkeiten, zu prüfen, ob wir einen DAG verwerfen (ausschließen) können. Bedingte Unabhängigkeit zwischen zwei Variablen sind Variablen, die nicht assoziiert (also stochastisch unabhängig) sind, wenn wir eine bestimmte Menge an Drittvariablen kontrollieren.

bsp2 impliziert folgende bedingte Unabhängigkeiten:

## A _||_ W | S
## D _||_ S | A, M, W
## M _||_ W | S

14.6 Fazit

14.6.1 Ausstieg

📺 Musterlösung für eine DAG-Prüfungsaufgabe

📺 Musterlösung für schwierige DAG-Prüfungsaufgaben

Beispiel 14.2 (PMI zum heutigen Stoff) Der Kreativitätsforscher Edward de Bono hat verschiedene “Denkmethoden” vorgestellt, die helfen sollen, Probleme besser zu lösen. Eine Methode ist die “PMI-Methode”. PMI steht für Plus, Minus, Interessant. Bei Plus und Minus soll man eine Bewertung von Positiven bzw. Negativen bzgl. eines Sachverhaltes anführen. Bei Interessant verzichtet man aber explizit auf eine Bewertung (im Sinne von “gut” oder “schlecht”) und fokussiert sich auf Interessantes, Überraschendes, Bemerkenswertes.

Führen Sie die PMI-Methode zum heutigen Stoff durch!

1. Plus: Was fanden Sie am heutigen Stoff gut, sinnvoll, nützlich? Warum?
2. Minus: Was finden Sie am heutigen Stoff nicht gut, sinnvoll, nützlich? Warum?
3. Interessant: Was finden Sie am heutigen Stoff bemerkenswert, interessant, nachdenkenswert? Warum?

Reichen Sie die Antworten an der von der Lehrkraft angezeigten Stelle ein! \(\square\)

14.6.2 Zusammenfassung

📺 Kausalmodelle überprüfen

Wie (und sogar ob) Sie statistische Ergebnisse (z.B. eines Regressionsmodells) interpretieren können, hängt von der epistemologischen Zielrichtung der Forschungsfrage ab:

• Bei deskriptiven Forschungsfragen können die Ergebnisse (z.B. Regressionskoeffizienten) direkt interpretiert werden. Z.B. “Der Unterschied zwischen beiden Gruppen beträgt etwa …”. Allerdings ist eine kausale Interpretation nicht zulässig.
• Bei prognostischen Fragestellungen (Vorhersagen) spielen die Modellkoeffizienten keine Rolle, stattdessen geht es um vorhergesagten Werte, \(\hat{y}_i\), z.B. auf Basis der PPV. Kausalaussagen sind zwar nicht möglich, aber auch nicht von Interesse.
• Bei kausalen Forschungsfragen dürfen die Modellkoeffizienten nur auf Basis eines Kausalmodells (DAG) oder eines (gut gemachten) Experiments interpretiert werden.

Modellkoeffizienten ändern sich (oft), wenn man Prädiktoren zum Modell hinzufügt oder wegnimmt. Entgegen der verbreiteten Annahme ist es falsch, möglichst viele Prädiktoren in das Modell aufzunehmen, wenn das Ziel eine Kausalaussage ist. Kenntnis der “kausalen Atome” ist Voraussetzung zur Ableitung von Kausalschlüsse in Beobachtungsstudien.

14.6.3 Vertiefung

An weiterführender Literatur sei z.B. Cummiskey et al. (2020), Lübke et al. (2020), Pearl et al. (2016) und Dablander (2020) empfohlen. Ein gutes Lehrbuch, das auf Kausalinferenz eingeht, ist Huntington-Klein (2022). Praktischerweise ist es öffentlich lesbar¹¹. Das Web-Buch Causal Inference for the Brave and True¹² sieht auch vielversprechend aus. Es gibt viel Literatur zu dem Thema; relevante Suchterme sind z.B. “DAG”, “causal” oder “causal inference”.

14.7 Aufgaben

• Sammlung “kausal”

14.7.1 Papier-und-Bleistift-Aufgaben

1. kollision-eignung
2. hintertuer
3. tutorium-kausal

14.7.2 Quiz-Aufgaben

Hier finden Sie Single-Choice-Aufgaben zu diesem Kapitel. Wählen Sie eine Antwort aus und klicken Sie auf das Häkchen, um sie zu überprüfen; über das Fragezeichen erhalten Sie die ausführliche Lösung.

Eine Kollision (Collider) liegt vor, wenn eine Variable die gemeinsame Wirkung zweier Ursachen ist (z.B. date als gemeinsame Wirkung von Schönheit und Talent). Welche Aussage zum Umgang mit einer solchen Kollisionsvariable ist korrekt?

Kollision und Konfundierung erfordern exakt dieselbe Handlungsempfehlung: In beiden Fällen sollte man die betreffende Variable kontrollieren.Man sollte Kollisionsvariablen immer kontrollieren, um Scheinkorrelationen zu vermeiden.Kontrolliert man die Kollisionsvariable, verschwindet jede eventuell vorhandene Scheinkorrelation zwischen den Ursachen.Kontrolliert man die Kollisionsvariable (z.B. durch Stratifizieren oder Aufnahme als Prädiktor), entsteht dadurch eine Scheinkorrelation zwischen den beiden (eigentlich unabhängigen) Ursachen; man sollte Kollisionsvariablen daher grundsätzlich nicht kontrollieren.Eine Kollisionsvariable erzeugt eine Scheinkorrelation zwischen den Ursachen, unabhängig davon, ob man sie kontrolliert oder nicht.

Das Kapitel zeigt am Beispiel Schönheit/Talent/date: Ohne Kontrolle von date sind Schönheit und Talent (in den Daten) unkorreliert; kontrolliert (stratifiziert) man aber nach date, entsteht eine Scheinkorrelation zwischen den beiden Ursachen. Deshalb gilt die Faustregel: “Kontrollieren Sie keine Kollisionsvariablen.” Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option kehrt die im Kapitel gegebene Empfehlung um: Gerade das Kontrollieren einer Kollisionsvariable erzeugt die Scheinkorrelation, nicht das Unterlassen.

• Die dritte Option ist falsch: Ohne Kontrolle der Kollisionsvariable entsteht laut Kapitel explizit keine Scheinkorrelation zwischen den Ursachen – der Pfad über die Kollisionsvariable ist dann blockiert.

• Die vierte Option ist falsch: Bei Konfundierung ist die Empfehlung genau entgegengesetzt – dort sollte man die Konfundierungsvariable kontrollieren, um eine Scheinkorrelation aufzulösen, während man bei einer Kollision genau das Gegenteil tun sollte.

• Die fünfte Option beschreibt das Gegenteil des im Kapitel demonstrierten Effekts: Kontrollieren erzeugt hier die Scheinkorrelation, es lässt sie nicht verschwinden.

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Wahr

• Falsch

Im Kapitel wird ein simuliertes Beispiel gezeigt, in dem IQ und Fleiß in der Gesamtpopulation unabhängig voneinander sind (eignung = 1/2*iq + 1/2*fleiss + glueck, studium = 1 falls eignung > 0). Betrachtet man aber nur die Studierenden (studium == 1), findet man einen negativen Zusammenhang zwischen IQ und Fleiß (“Fleiß macht blöd”). Wie erklärt das Kapitel diesen Befund?

studium ist ein Konfundierer für den Zusammenhang von iq und fleiss, daher muss man unbedingt danach kontrollieren, um den wahren Zusammenhang zu sehen.IQ und Fleiß sind in Wirklichkeit immer negativ korreliert, unabhängig von der betrachteten Teilgruppe.Der negative Zusammenhang zeigt, dass Fleiß tatsächlich kausal die Intelligenz verringert.Der negative Zusammenhang entsteht durch einen Fehler in der Simulation und hat keine inhaltliche Erklärung.studium ist eine Kollisionsvariable (gemeinsame Wirkung von iq und fleiss); indem man die Stichprobe auf studium == 1 beschränkt, kontrolliert (stratifiziert) man implizit nach dieser Kollisionsvariable, wodurch eine Scheinkorrelation zwischen iq und fleiss entsteht.

Da studium von beiden Variablen (iq und fleiss) gemeinsam verursacht wird (über eignung), ist studium eine Kollisionsvariable. Beschränkt man die Analyse auf nur eine Ausprägung von studium (nämlich studium == 1), entspricht das einer Stratifizierung nach dieser Kollisionsvariable – genau das erzeugt die (irreführende) negative Scheinkorrelation zwischen iq und fleiss, obwohl beide in der Gesamtpopulation unabhängig sind. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option widerspricht der Simulation direkt: iq und fleiss wurden dort explizit unabhängig voneinander generiert (rnorm); der negative Zusammenhang tritt nur in der Teilgruppe der Studierenden auf, nicht in der Gesamtpopulation.

• Die dritte Option ist falsch: Der Effekt ist kein Simulationsfehler, sondern ein reproduzierbares, statistisch erklärbares Phänomen (Kollisionsverzerrung durch implizite Stratifizierung nach studium).

• Die vierte Option verwechselt Kollision mit Konfundierung: Bei einer Kollisionsvariable ist die Handlungsempfehlung gerade entgegengesetzt – man sollte sie nicht kontrollieren (bzw. die Stichprobe nicht danach einschränken), wenn man den wahren Zusammenhang sehen möchte.

• Die fünfte Option zieht einen unzulässigen Kausalschluss aus einer reinen Scheinkorrelation – gerade das Kapitel warnt davor, eine solche (durch Kollisionsverzerrung entstandene) Assoziation kausal zu interpretieren.

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Wahr

Gegeben sei eine Mediationsstruktur \(x \rightarrow m \rightarrow y\), wobei \(m\) der Mediator ist. Man ist am totalen kausalen Effekt von \(x\) auf \(y\) interessiert. Sollte man den Mediator \(m\) in der Regression kontrollieren?

Es spielt für den geschätzten totalen Effekt keine Rolle, ob man den Mediator kontrolliert oder nicht.Nur wenn der Mediator eine nominale (kategoriale) Variable ist, sollte man ihn nicht kontrollieren; bei metrischen Mediatoren ist Kontrollieren hingegen unproblematisch.Ja, man sollte den Mediator immer kontrollieren, um Scheinkorrelationen zu vermeiden.Nein: Kontrolliert man den Mediator, wird der (echte, kausale) Pfad von \(x\) über \(m\) zu \(y\) blockiert – man verliert dann gerade den Effekt, an dem man eigentlich interessiert ist.Der Mediator muss kontrolliert werden, weil er sonst als Konfundierer wirkt.

Das Kapitel stellt klar: “Das Kontrollieren eines Mediators ist ein Fehler, wenn man am gesamten (totalen) Kausaleffekt von UV zu AV interessiert ist.” Anders als bei einem Konfundierer oder Kollider handelt es sich beim Pfad über den Mediator um einen echten Kausalpfad, keine Scheinkorrelation – kontrolliert man den Mediator, “blockt” man genau diesen echten Effekt. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option kehrt die Empfehlung des Kapitels um: “Kontrollieren Sie den Mediator nicht. Der Pfad über den Mediator ist ein ‘echter’ Kausalpfad, keine Scheinkorrelation.”

• Die dritte Option ist falsch: Das Kontrollieren des Mediators verändert den geschätzten Effekt erheblich – der (ohnehin schon geschlossene) indirekte Pfad wird dadurch blockiert, sodass nur noch ein etwaiger direkter Effekt (falls vorhanden) übrig bleibt, nicht der totale Effekt.

• Die vierte Option verwechselt die kausale Rolle von Mediator und Konfundierer: Ein Mediator liegt auf dem Kausalpfad zwischen UV und AV, ein Konfundierer wirkt hingegen gemeinsam als Ursache auf UV und AV – beide erfordern unterschiedliche Handlungsempfehlungen.

• Die fünfte Option nennt ein im Kapitel nicht getroffenes, sachlich unbegründetes Unterscheidungskriterium (Skalenniveau des Mediators) – die Empfehlung, Mediatoren nicht zu kontrollieren, gilt unabhängig vom Skalenniveau.

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Wahr

• Falsch

Ein Nachfahre ist eine Variable, die kausal von einer anderen Variable im DAG beeinflusst wird (z.B. wenn eine Kollisionsvariable \(m\) ihrerseits eine Wirkung \(d\) hat: \(x\rightarrow m \leftarrow y\), \(m\rightarrow d\)). Welche Aussage zum Kontrollieren eines Nachfahren \(d\) ist korrekt?

Das Kontrollieren eines Nachfahren betrifft ausschließlich die Variable selbst, niemals irgendwelche anderen Pfade im DAG.Nachfahren sollte man immer kontrollieren, unabhängig von der übrigen Struktur des DAGs.Kontrolliert man einen Nachfahren \(d\) eines Kolliders \(m\), kontrolliert man dadurch teilweise auch \(m\) selbst (da \(d\) Information über \(m\) enthält) – das kann denselben verzerrenden Effekt haben wie das direkte Kontrollieren des Kolliders.Ein Nachfahre ist dasselbe wie ein Mediator und sollte daher genauso behandelt werden.Das Kontrollieren eines Nachfahren hat grundsätzlich überhaupt keinen Effekt auf die Analyse, da Nachfahren per Definition keine Information über ihre Vorfahren enthalten.

Das Kapitel erläutert: “Kontrolliert man einen Nachfahren d, so kontrolliert man damit zum Teil den Vorfahren (die Ursache), m. Der Grund ist, dass d Information beinhaltet über m.” Ist m dabei eine Kollisionsvariable, kann das (teilweise) Kontrollieren über den Nachfahren d denselben Verzerrungseffekt erzeugen wie das direkte Kontrollieren von m. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option widerspricht der Definition direkt: Ein Nachfahre enthält per Definition (kausal bedingt) Information über seinen Vorfahren – deshalb hat das Kontrollieren eines Nachfahren eben doch einen (wenn auch abgeschwächten) Effekt auf die Analyse.

• Die dritte Option ist eine unzulässige pauschale Regel: Ob das Kontrollieren eines Nachfahren schädlich oder unproblematisch ist, hängt von der Rolle seines Vorfahren im DAG ab (z.B. ob dieser ein Kollider ist) – eine pauschale “immer kontrollieren”-Regel gibt das Kapitel nicht vor.

• Die vierte Option verwechselt zwei unterschiedliche der “vier Atome”: Ein Mediator liegt auf dem Kausalpfad zwischen UV und AV, ein Nachfahre ist hingegen eine Variable, die von einer anderen (z.B. einer Kollisions-)Variable abstammt – beide haben unterschiedliche Implikationen.

• Die fünfte Option ist falsch: Da der Nachfahre Information über seinen Vorfahren trägt, wirkt sich das Kontrollieren des Nachfahren indirekt auch auf die Pfade aus, die über den Vorfahren laufen (z.B. das teilweise Öffnen eines Kollisionspfads).

• Falsch

• Falsch

• Wahr

• Falsch

• Falsch

Das Kapitel benennt vier “Atome” der Kausalanalyse, aus denen sich jeder beliebige DAG zusammensetzt. Welche Zuordnung von Atom und der zugehörigen Handlungsempfehlung (kontrollieren oder nicht) ist korrekt?

Konfundierung: kontrollieren, um Scheinkorrelation aufzulösen. Kollision: nicht kontrollieren, sonst entsteht Scheinkorrelation. Mediation: nicht kontrollieren, wenn der totale Effekt gesucht ist. Nachfahre: Wirkung hängt von der Rolle des zugehörigen Vorfahren ab.Mediation bedeutet dasselbe wie Konfundierung, nur mit anderer Bezeichnung.Es gibt laut Kapitel nur zwei relevante Atome der Kausalanalyse, nicht vier.Alle vier Atome (Konfundierung, Kollision, Mediation, Nachfahre) erfordern exakt dieselbe Handlungsempfehlung: immer kontrollieren.Konfundierung und Kollision erfordern beide “nicht kontrollieren”, Mediation und Nachfahre erfordern beide “immer kontrollieren”.

Die vier Atome und ihre grundsätzlichen Handlungsempfehlungen: Bei Konfundierung (gemeinsame Ursache von UV und AV) sollte man kontrollieren, um die dadurch entstehende Scheinkorrelation aufzulösen. Bei Kollision (gemeinsame Wirkung) sollte man nicht kontrollieren, da dies erst eine Scheinkorrelation erzeugt. Bei Mediation sollte man den Mediator nicht kontrollieren, wenn der totale Effekt von Interesse ist. Bei einem Nachfahren hängt die richtige Vorgehensweise von der Rolle des zugehörigen Vorfahren ab (z.B. Kollider oder nicht). Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option ignoriert die zentralen Unterschiede zwischen den vier Atomen: Insbesondere bei Kollision und Mediation ist Kontrollieren gerade nicht angebracht (jeweils aus unterschiedlichen Gründen), im Gegensatz zur Konfundierung.

• Die dritte Option vertauscht die Zuordnung: Konfundierung erfordert gerade Kontrollieren, nicht “nicht kontrollieren” – die Aussage ist also für Konfundierung falsch zugeordnet.

• Die vierte Option widerspricht dem Kapitel direkt, das ausdrücklich “die vier Atome der Kausalinferenz” (Konfundierung, Kollision, Mediation, Nachfahre) als vollständige Grundbausteine benennt.

• Die fünfte Option verwechselt zwei grundlegend unterschiedliche Strukturen: Bei Konfundierung ist die Drittvariable gemeinsame Ursache von UV und AV, bei Mediation liegt die Drittvariable hingegen zwischen UV und AV auf dem Kausalpfad.

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• Falsch

Was versteht das Kapitel unter einer “Hintertür” (backdoor) zwischen UV und AV, und welche Rolle spielt die Pfeilrichtung dabei?

Hintertüren treten ausschließlich bei experimentellen Studien auf, niemals bei Beobachtungsstudien.Eine Hintertür ist ein Pfad, der immer automatisch blockiert (geschlossen) ist und daher nie zusätzliche Aufmerksamkeit erfordert.Eine Hintertür entsteht nur, wenn die AV direkt auf die UV wirkt.Eine Hintertür ist ein nicht-kausaler Pfad zwischen UV und AV; solche Pfade sind daran erkennbar, dass ein Pfeil in die UV hineinführt (also \(\rightarrow X\)) statt von ihr wegzuführen – Pfade, die nur von der UV wegführen (\(X\rightarrow\)), sind hingegen entweder echte Kausalpfade oder automatisch blockiert.Eine Hintertür ist jeder beliebige Pfad zwischen UV und AV, unabhängig von der Pfeilrichtung.

Laut Definition im Kapitel ist eine Hintertür “ein nicht-kausaler Pfad zwischen einer UV und einer AV”, der die Schätzung verzerrt, wenn er nicht kontrolliert wird. Die entscheidende Regel zur Erkennung: Pfade, die von der UV wegführen (\(X\rightarrow\)), sind entweder echte Kausalpfade oder ohnehin automatisch blockiert und erfordern kein Eingreifen; Pfade, die zur UV hinführen (\(\rightarrow X\)), sind hingegen immer Hintertüren, die ggf. geschlossen werden müssen. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option ist zu unspezifisch: Nicht jeder Pfad ist automatisch eine Hintertür – entscheidend ist gerade die Pfeilrichtung in Bezug auf die UV, wie im Kapitel explizit unterschieden wird (Fall 1: \(X\rightarrow\) vs. Fall 2: \(\rightarrow X\)).

• Die dritte Option beschreibt keine sinnvolle, im Kapitel definierte Bedingung – eine Hintertür entsteht durch einen alternativen, nicht-kausalen Pfad zwischen UV und AV, nicht durch einen direkten Effekt der AV auf die UV (was ohnehin einem azyklischen DAG widersprechen würde).

• Die vierte Option ist falsch: Das gesamte Kapitel demonstriert das Konzept der Hintertür gerade an Beobachtungsstudien (Saratoga-Hauspreise) – bei gut durchgeführten Experimenten wird die Hintertür durch Randomisierung von vornherein geschlossen.

• Die fünfte Option widerspricht der zentralen Warnung des Kapitels: Hintertüren können durchaus offen sein und müssen dann aktiv geschlossen werden (z.B. durch Kontrolle eines Konfundierers) – sie sind nicht automatisch immer blockiert.

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Im “Gespenster-DAG” (Großeltern \(G\), Eltern \(E\), Kinder \(K\), plus eine ungemessene Variable \(U\), z.B. Nachbarschaft, mit \(U\rightarrow E\) und \(U\rightarrow K\)) ist \(E\) eine Kollisionsvariable auf dem Pfad zwischen \(G\) und \(U\). Warum bezeichnet das Kapitel diesen DAG als “unheilbar”?

Der DAG ist unheilbar, weil \(G\) und \(K\) nicht direkt durch einen Pfeil verbunden sind.Der DAG ist unheilbar, weil er azyklisch ist.Man könnte das Problem einfach lösen, indem man \(U\) zusätzlich in die Regression aufnimmt.Der DAG ist unheilbar, weil zu wenige Beobachtungen im Datensatz vorhanden sind.Da \(E\) eine Kollisionsvariable ist, würde das Kontrollieren von \(E\) (nötig, um den Konfundierungspfad über \(E\) zu blockieren) gleichzeitig eine Scheinkorrelation über \(U\) öffnen – da \(U\) aber unbeobachtet (ungemessen) ist, kann man diese neu geöffnete Verzerrung nicht mehr durch weiteres Kontrollieren beheben.

Das Kapitel erläutert: “E ist sowohl für G als auch für U eine Wirkung, also eine Kollisionsvariable auf diesem Pfad. Wenn wir E kontrollieren, wird es den Pfad \(G\rightarrow K\) verzerren, auch wenn wir niemals U messen.” Man steckt also in einem Dilemma: Kontrolliert man \(E\) nicht, bleibt eine Konfundierung bestehen; kontrolliert man \(E\), öffnet man über die (unbeobachtete) Kollisionsvariable eine neue Verzerrung, die man mangels Messung von \(U\) nicht mehr schließen kann. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option ist falsch: Azyklizität ist eine grundlegende Eigenschaft aller DAGs (siehe Definition von DAG im vorherigen Kapitel), nicht die spezifische Ursache für die Unlösbarkeit gerade dieses Beispiels.

• Die dritte Option nennt einen im Kapitel nicht erwähnten Grund: Das Problem des Gespenster-DAGs ist ein strukturelles (durch die kausale Struktur bedingtes) Identifikationsproblem, keine Frage der Stichprobengröße – auch mit unendlich vielen Daten ließe sich der Effekt nicht sauber isolieren.

• Die vierte Option widerspricht der Prämisse: \(U\) ist per Definition eine ungemessene (unbekannte) Variable – man kann eine Variable, die man nicht beobachtet hat, nicht in ein Regressionsmodell aufnehmen.

• Die fünfte Option beschreibt keinen im Kapitel genannten Grund und ist sachlich unbegründet – das Fehlen eines direkten Pfeils zwischen zwei bestimmten Variablen macht einen DAG nicht per se “unheilbar”.

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Im DAG-Beispiel bsp1 (UV: \(X\), AV: \(Y\), Kovariaten \(A\), \(B\), \(C\), ungemessene Variable \(U\); mit \(C\rightarrow B\), \(U\rightarrow B\), \(A\rightarrow C\), \(A\rightarrow U\), \(U\rightarrow X\), \(C\rightarrow Y\), \(X\rightarrow Y\)) gibt es zwei Hintertürpfade: \(X\leftarrow U\leftarrow A\rightarrow C\rightarrow Y\) (offen) und \(X\leftarrow U\rightarrow B\leftarrow C\rightarrow Y\) (bereits geschlossen, da \(B\) eine Kollisionsvariable auf diesem Pfad ist). Welche Variable(n) muss man kontrollieren, um die offene Hintertür zu schließen?

\(B\), da \(B\) auf einem der beiden Hintertürpfade liegt.Keine Variable muss kontrolliert werden, da beide Hintertürpfade automatisch geschlossen sind.Man muss \(X\) selbst kontrollieren, um die Hintertür zu schließen.\(A\) (oder alternativ \(C\)) – beide liegen auf dem offenen Hintertürpfad und sind keine Kollisionsvariablen, ihre Kontrolle blockiert den Pfad.\(U\), da \(U\) die ungemessene Variable ist und daher unbedingt kontrolliert werden muss.

Der offene Hintertürpfad \(X\leftarrow U\leftarrow A\rightarrow C\rightarrow Y\) lässt sich blockieren, indem man eine der auf diesem Pfad liegenden Nicht-Kollisions-Variablen kontrolliert – hier bieten sich \(A\) oder \(C\) an (beide liegen auf dem Pfad und sind dort keine Kollisionsvariablen). Die zweite Hintertür (\(X\leftarrow U\rightarrow B\leftarrow C\rightarrow Y\)) ist bereits automatisch geschlossen, da \(B\) dort eine Kollisionsvariable ist. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option verwechselt die beiden Pfade: \(B\) liegt zwar auf dem bereits geschlossenen Pfad, aber als Kollisionsvariable – würde man \(B\) kontrollieren, würde man diesen eigentlich geschlossenen Pfad erst öffnen und damit eine neue Verzerrung erzeugen, statt eine bestehende zu schließen.

• Die dritte Option ist nicht umsetzbar: \(U\) ist per Annahme ungemessen und kann daher gar nicht als Prädiktor in ein Modell aufgenommen (kontrolliert) werden.

• Die vierte Option ergibt keinen Sinn im Rahmen der Hintertür-Logik: Man kontrolliert Drittvariablen, um Hintertürpfade zur UV zu schließen – die UV selbst zu “kontrollieren” ist kein sinnvolles Konzept in diesem Zusammenhang.

• Die fünfte Option ignoriert, dass explizit ein Hintertürpfad (\(X\leftarrow U\leftarrow A\rightarrow C\rightarrow Y\)) als offen beschrieben wird – dieser muss also aktiv geschlossen werden, ist nicht automatisch schon blockiert.

• Falsch

• Falsch

• Falsch

• Wahr

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Im DAG-Beispiel bsp2 (UV: \(W\), AV: \(D\)) gelten folgende Kausalpfeile: \(S\rightarrow A\), \(S\rightarrow M\), \(S\rightarrow W\), \(A\rightarrow D\), \(A\rightarrow M\), \(M\rightarrow D\), \(W\rightarrow D\). Welche Variable(n) muss man mindestens kontrollieren, um alle offenen Hintertüren zwischen \(W\) und \(D\) zu schließen?

Entweder kontrolliert man \(S\) allein, oder alternativ \(A\) und \(M\) gemeinsam – beide Mengen blockieren alle Hintertürpfade von \(W\) nach \(D\), da jeder dieser Pfade bei \(S\) beginnt (\(W\leftarrow S\rightarrow \ldots \rightarrow D\)) und über \(A\) und/oder \(M\) zu \(D\) weiterläuft.Man muss zwingend alle vier Variablen \(A\), \(M\), \(S\) und \(D\) gleichzeitig kontrollieren, sonst bleibt immer mindestens eine Hintertür offen.Man darf hier gar keine Variable kontrollieren, da jede Kontrolle automatisch eine neue Scheinkorrelation zwischen \(W\) und \(D\) erzeugt.Es genügt, \(D\) zu kontrollieren, da \(D\) die AV ist und dadurch alle Pfade zu ihr automatisch geschlossen werden.Es genügt, nur \(A\) zu kontrollieren, da alle Hintertürpfade zwangsläufig über \(A\) verlaufen.

Von \(W\) nach \(D\) führt der direkte Kausalpfad \(W\rightarrow D\) sowie drei Hintertürpfade, die alle bei \(S\) beginnen: \(W\leftarrow S\rightarrow A\rightarrow D\), \(W\leftarrow S\rightarrow A\rightarrow M\rightarrow D\) und \(W\leftarrow S\rightarrow M\rightarrow D\). Kontrolliert man \(S\), wird der Ursprung aller drei Pfade blockiert, alle Hintertüren schließen sich gleichzeitig. Alternativ kann man \(S\) selbst unkontrolliert lassen und stattdessen \(A\) und \(M\) kontrollieren: Der erste Pfad wird durch \(A\) blockiert, der zweite durch \(A\) oder \(M\), der dritte durch \(M\) – zusammen schließen \(A\) und \(M\) also ebenfalls alle drei Hintertüren. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option übersieht den dritten Pfad \(W\leftarrow S\rightarrow M\rightarrow D\), der nicht über \(A\) verläuft – dieser bliebe bei alleiniger Kontrolle von \(A\) offen.

• Die dritte Option ist unnötig streng: Wie gezeigt reicht bereits \(S\) allein (eine einzige Variable), um alle Hintertüren zu schließen; die Kontrolle aller vier Variablen ist nicht erforderlich.

• Die vierte Option widerspricht der zentralen Lehre des Kapitels zur Hintertür: Konfundierende (Hintertür-)Pfade müssen gerade geschlossen werden, um den kausalen Effekt unverzerrt zu schätzen – das Kontrollieren von Nicht-Kollisionsvariablen auf einem Hintertürpfad erzeugt keine neue Scheinkorrelation, sondern beseitigt eine bestehende Verzerrung.

• Die fünfte Option beruht auf einem Missverständnis: Man kontrolliert Drittvariablen auf den Pfaden zwischen UV und AV, nicht die AV selbst – die AV zu kontrollieren ergibt im Rahmen der Hintertür-Analyse keinen Sinn.

• Wahr

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• Falsch

• Falsch

• Falsch

Das Kapitel unterscheidet drei “epistemologische Zielrichtungen” einer Forschungsfrage: deskriptiv, prognostisch und kausal. Welche Zuordnung ist korrekt?

Prognostische Fragestellungen erfordern zwingend ein vollständiges Kausalmodell, deskriptive Fragestellungen hingegen nicht.Kausale Forschungsfragen benötigen niemals ein Kausalmodell, da die Statistik allein ausreicht, um Kausaleffekte zu identifizieren.Deskriptive Forschungsfragen sind grundsätzlich unwissenschaftlich und sollten vermieden werden.Bei allen drei Zielrichtungen (deskriptiv, prognostisch, kausal) sind Regressionskoeffizienten immer automatisch kausal zu interpretieren.Bei deskriptiven Fragen können Regressionskoeffizienten direkt (aber nicht-kausal) interpretiert werden; bei prognostischen Fragen sind die vorhergesagten Werte relevant, nicht die Koeffizienten; bei kausalen Fragen dürfen die Koeffizienten nur auf Basis eines Kausalmodells (DAG) oder eines guten Experiments interpretiert werden.

Laut Kapitel: Bei deskriptiven Fragen sind die Koeffizienten direkt interpretierbar, aber ohne kausale Deutung. Bei prognostischen Fragen (Vorhersage) spielen die Koeffizienten selbst keine große Rolle – entscheidend sind die vorhergesagten Werte \(\hat{y}_i\) (z.B. auf Basis der PPV); Kausalaussagen sind hier weder möglich noch von Interesse. Bei kausalen Fragen dürfen die Koeffizienten nur unter Rückgriff auf ein Kausalmodell (DAG) oder ein sauber durchgeführtes Experiment interpretiert werden. Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option widerspricht der zentralen Botschaft des gesamten Kapitels: Gerade bei deskriptiven und prognostischen Fragen ist eine automatische kausale Interpretation nicht zulässig.

• Die dritte Option vertauscht die Anforderungen: Laut Kapitel benötigen gerade kausale (nicht prognostische) Fragestellungen ein Kausalmodell – bei rein prognostischen Fragen sind Kausalaussagen weder nötig noch von Interesse.

• Die vierte Option ist eine im Kapitel nicht getroffene, abwertende Fehlcharakterisierung – deskriptive Forschungsfragen sind vollkommen legitim, solange man ihre Ergebnisse nicht fälschlich kausal interpretiert.

• Die fünfte Option widerspricht der zentralen Warnung des gesamten Kapitels (und des vorherigen Kapitels zur Konfundierung): Statistische Modellierung allein reicht gerade nicht aus, um Kausaleffekte zu identifizieren – dafür ist zusätzlich Kenntnis des (korrekten) Kausalmodells nötig.

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Ein DAG (z.B. bsp2) impliziert bestimmte bedingte Unabhängigkeiten zwischen Variablen, die man z.B. mit impliedConditionalIndependencies() aus dem R-Paket dagitty auflisten kann. Wozu ist das nützlich, wenn man doch (laut Kapitel) allein aus den Daten nicht bestimmen kann, welcher DAG der “richtige” ist?

Implizierte Unabhängigkeiten sind rein theoretische Spielerei ohne jeden praktischen Nutzen für die Datenanalyse.Die implizierten Unabhängigkeiten eines DAGs ändern sich bei jeder neuen Stichprobe, sie sind keine feste Eigenschaft des DAGs.Implizierte Unabhängigkeiten sagen nur etwas über kausale Pfeile aus, niemals über beobachtbare statistische Zusammenhänge.Auch wenn man aus den Daten nicht direkt beweisen kann, welcher DAG richtig ist, kann man prüfen, ob die vom DAG implizierten (bedingten) Unabhängigkeiten mit den beobachteten Daten übereinstimmen – widersprechen die Daten einer implizierten Unabhängigkeit, kann man den betreffenden DAG verwerfen.Man kann mit implizierten Unabhängigkeiten stets beweisen, dass ein DAG der einzig korrekte ist.

Das Kapitel stellt fest: “Auch wenn die Daten nicht sagen können, welcher DAG der richtige ist, können wir zumindest lernen, welcher DAG falsch ist. Die vom Modell implizierten bedingten Unabhängigkeiten geben uns Möglichkeiten, zu prüfen, ob wir einen DAG verwerfen (ausschließen) können.” Man kann DAGs also nicht endgültig bestätigen, aber durchaus falsifizieren, wenn die Daten einer implizierten Unabhängigkeit widersprechen (ganz im Sinne von Poppers Falsifikationsprinzip aus einem früheren Kapitel). Die erste Option ist korrekt.

Warum die Distraktoren falsch sind:

• Die zweite Option widerspricht dem praktischen Nutzen, den das Kapitel explizit demonstriert (Berechnung und Prüfung der implizierten Unabhängigkeiten mit dagitty) – es handelt sich um ein konkretes, anwendbares Prüfverfahren.

• Die dritte Option überzeichnet die Möglichkeiten: Wie bei der DAG-Äquivalenzklasse gezeigt, können mehrere unterschiedliche DAGs dieselben Unabhängigkeitsimplikationen haben – ein “Bestehen” des Tests beweist also nicht, dass genau dieser DAG der einzig richtige ist, sondern nur, dass er nicht widerlegt wurde.

• Die vierte Option ist falsch: Implizierte (bedingte) Unabhängigkeiten sind gerade Aussagen über beobachtbare statistische (Un-)Abhängigkeiten (z.B. Korrelationen nahe Null unter bestimmten Kontrollbedingungen), die man direkt an den Daten überprüfen kann.

• Die fünfte Option verwechselt die implizierten Unabhängigkeiten (eine feste, aus der Struktur des DAGs ableitbare Eigenschaft) mit den tatsächlich in einer konkreten Stichprobe beobachteten Werten – Letztere können zwar variieren, die vom DAG implizierten (theoretischen) Unabhängigkeiten selbst ändern sich aber nicht von Stichprobe zu Stichprobe.

• Falsch

• Falsch

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• Wahr

• Falsch

14.8 —

Cummiskey, K., Adams, B., Pleuss, J., Turner, D., Clark, N., & Watts, K. (2020). Causal Inference in Introductory Statistics Courses. Journal of Statistics Education, 28(1), 2–8. https://doi.org/10.1080/10691898.2020.1713936

Dablander, F. (2020). An Introduction to Causal Inference [Preprint]. PsyArXiv. https://doi.org/10.31234/osf.io/b3fkw

Huntington-Klein, N. (2022). The Effect: An Introduction to Research Design and Causality. CRC Press, Taylor & Francis Group. https://theeffectbook.net/

Kurz, S. (2021). Statistical Rethinking with Brms, Ggplot2, and the Tidyverse: Second Edition. https://bookdown.org/content/4857/

Lübke, K., Gehrke, M., Horst, J., & Szepannek, G. (2020). Why We Should Teach Causal Inference: Examples in Linear Regression with Simulated Data. Journal of Statistics Education, 1–17. https://doi.org/10.1080/10691898.2020.1752859

McElreath, R. (2020). Statistical Rethinking: A Bayesian Course with Examples in R and Stan (2. Aufl.). Taylor and Francis, CRC Press.

Pearl, J., Glymour, M., & Jewell, N. P. (2016). Causal Inference in Statistics: A Primer. Wiley.

Rohrer, J. M. (2018). Thinking Clearly About Correlations and Causation: Graphical Causal Models for Observational Data. Advances in Methods and Practices in Psychological Science, 1(1), 27–42. https://doi.org/10.1177/2515245917745629

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1. https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/mosaicData/SaratogaHouses.csv

2. https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/mosaicData/SaratogaHouses.html

3. https://twitter.com/TheTweetOfGod/status/1462594155176026123

4. Don muss reich sein.

5. Super, Don!

6. Der horizontale Balken “|” bedeutet “gegeben, dass”. Ein Beispiel lautet \(Pr(A|B)\): “Die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben dass B der Fall ist.

7. engl. randomized, controlled trial, RCT

8. Nein, durch das Kontrollieren von m wird der Kausalpfad von x zu y geschlossen. Es kann keine kausale Assoziation von x auf y mehr “fließen”.

9. beeinflussen ist grundsätzlich kausal zu verstehen

10. https://bookdown.org/content/4857/the-haunted-dag-the-causal-terror.html#backdoor-waffles

11. https://theeffectbook.net/ch-CausalPaths.html

12. https://matheusfacure.github.io/python-causality-handbook/landing-page.html