Start:Bayes!

Konfundierung

Sebastian Sauer

Datensatz

Konfundierung

• Einstieg in die Kausalanalyse (Kausalinferenz)
• Zentrale Frage: Was ist die Ursache eines Phänomens?
• Heute: ein häufiger Fall von Scheinkorrelation — die Konfundierung

Lernziele

Sie können …

• erklären, was eine Konfundierung ist
• DAGs lesen und zeichnen
• Konfundierung in einem DAG erkennen

Einstieg

Von Störchen und Babies

• Klassisches Beispiel: Anzahl_Stoerche und Anzahl_Babies sind korreliert
• Moral der Geschichte: Nur weil zwei Variablen korrelieren, heißt das nicht, dass die eine die Ursache der anderen ist

Und: Ein Regressionsgewicht ungleich Null in einer Regressionsanalyse bedeutet nicht automatisch, dass die UV Ursache der AV ist.

Statistik, was soll ich tun?

Studie A: Östrogen — Was raten Sie dem Arzt?

Gruppe	Mit Medikament	Ohne Medikament
Männer	81/87 (93 %)	234/270 (87 %)
Frauen	192/263 (73 %)	55/80 (69 %)
Gesamt	273/350 (78 %)	289/350 (83 %)

• Bei Männern und bei Frauen hilft das Medikament
• Insgesamt aber scheinbar nicht — Widerspruch?

Kausalmodell zur Studie A

• Geschlecht beeinflusst Medikamenteneinnahme und Heilung
• Effekt von Geschlecht und Medikament ist in den Gesamtdaten vermengt (konfundiert)

Wichtig

Hier zeigt die Stratifizierung (Betrachtung pro Gruppe) den wahren kausalen Effekt.

Studie B: Blutdruck — Was raten Sie dem Arzt?

Gruppe	Ohne Medikament	Mit Medikament
geringer Blutdruck	81/87 (93 %)	234/270 (87 %)
hoher Blutdruck	192/263 (73 %)	55/80 (69 %)
Gesamt	273/350 (78 %)	289/350 (83 %)

• Innerhalb jeder Blutdruckgruppe scheint das Medikament zu schaden
• Insgesamt scheint es zu nutzen — gleiche Zahlen wie Studie A, andere Geschichte!

Kausalmodell zur Studie B

• Medikament senkt Blutdruck (gut) und wirkt toxisch (schlecht)
• Blutdrucksenkung wirkt sich positiv auf Heilung aus

Wichtig

Hier zeigen die Gesamtdaten den wahren Effekt. Stratifizieren wäre hier falsch — man sähe nur den toxischen Teileffekt.

Gleiche Daten, unterschiedliches Kausalmodell

• Studie A und Studie B haben identische Zahlen
• Aber: unterschiedliche Kausalmodelle → unterschiedliche richtige Antworten
• Kausale Interpretation ist nur möglich, wenn das Kausalmodell bekannt ist
• Die Daten allein reichen nicht

Sorry, Statistik: Du allein schaffst es nicht

Wichtig

Für Entscheidungen (“Was soll ich tun?”) braucht man kausales Wissen. Kausales Wissen basiert auf einer Theorie (Kausalmodell) plus Daten.

• Datenanalyse allein reicht nicht für Kausalschlüsse
• Datenanalyse + Kausalinferenz erlaubt Kausalschlüsse

Vertiefung: Studie C — Nierensteine

• Ärzte wählen Behandlung A bei großen Steinen, Behandlung B bei kleinen
• Größe beeinflusst Behandlung und Heilung
• Kette: Größe \(\rightarrow\) Behandlung \(\rightarrow\) Heilung, plus direkter Effekt Größe \(\rightarrow\) Heilung

Nierensteine: sollte man size kontrollieren?

• Ziel: Kausaleffekt von treatment schätzen
• Ja — size sollte kontrolliert werden
• Ohne Kontrolle: vermengter Effekt von size und treatment, keine belastbare Aussage über die Behandlung

Weitere Scheinkorrelationen

• “Einkommen und Heiraten korrelieren hoch — also erhöht Heiraten dein Einkommen.” Wirklich?
• “Wer sich beeilt, kommt zu spät zur Besprechung — also lieber nicht beeilen.” Wirklich?
• Beide Schlüsse sind voreilig: mögliche Drittvariablen im Spiel

Zwischenfazit

• Beobachtungsstudien: Aus den Daten allein ist nicht erkennbar, ob ein kausaler Effekt vorliegt — nur Kenntnis des Kausalmodells + Daten erlaubt eine Entscheidung
• Experimentelle Daten: Kausalmodell ist (bei gutem Design) nicht nötig — Randomisierung und Kontrolle verhindern Konfundierung

Konfundierung

Die Geschichte von Angie und Don

• 🧑 Don: Immobilienmogul, Auftraggeber
• 👩 Angie: Data Scientistin
• Datensatz: SaratogaHouses — Hauspreise im Saratoga County, USA
• Don will wissen: Was ist meine Immobilie wert?

Modell 1: Preis als Funktion der Zimmerzahl

• m1: price ~ bedrooms
• Jedes Zimmer mehr ist ca. 50.000 $ wert (laut m1)

Dons Idee: mehr Zimmer durch Wände einziehen

• Don verdoppelt die Zimmerzahl durch das Einziehen von Mauern
• Erwartung: doppelter Verkaufspreis
• Aber: Vorhersage laut m1 mit 4 statt 2 Zimmern → Preis steigt trotzdem (von m1 isoliert betrachtet)
• Das Problem: m1 berücksichtigt nicht die Wohnfläche — künstlich mehr, aber kleinere Zimmer ändern real nichts am Wert

Punktschätzer vs. Schätzintervalle

• predict() / point_estimate(): nur ein Punktschätzer, kein Intervall
• estimate_prediction(): Vorhersageintervall — zwei Quellen der Ungewissheit (Parameter + Strukturmodell)
• estimate_expectation(): Konfidenzintervall — nur eine Quelle (Parameter)

Modell 2: Zimmerzahl und Wohnfläche

• m2: price ~ bedrooms + livingArea
• Kontrolliert man livingArea mit, dreht sich das Bild

Die Zimmerzahl ist negativ mit dem Preis korreliert

… wenn man die Wohnfläche kontrolliert:

Hauspreis stratifizieren

Hinweis

Eine Aussage kann nur dann richtig sein, wenn ihre Annahmen richtig sind. “Mehr Zimmer = mehr Wert” ist kein Naturgesetz, sondern hängt vom zugrundeliegenden Modell ab.

Kontrollieren von Variablen

• Prädiktoren in der multiplen Regression werden kontrolliert (adjustiert, konditioniert)
• Koeffizienten zeigen den Effekt eines Prädiktors, wenn die anderen konstant gehalten werden
• Man spricht auch von parziellen Regressionskoeffizienten oder dem “Netto-Effekt”

Wichtig

Das Hinzufügen von Prädiktoren kann die Gewichte der übrigen Prädiktoren ändern.

Welches Modell ist richtig?

Wichtig

In Beobachtungsstudien hilft nur ein korrektes Kausalmodell. Ohne Kausalmodell ist es nutzlos, Regressionskoeffizienten zur Erklärung von Ursachen heranzuziehen — die Koeffizienten können sich wild ändern, sogar das Vorzeichen (Simpson-Paradox).

“… any observed correlation between an outcome and predictor could be eliminated or reversed once another predictor is added to the model.” — McElreath (2020)

Kausalmodell km1

• Erklärung für m1/m2: livingArea beeinflusst sowohl bedrooms als auch price
• Wenn km1 stimmt: Scheinkorrelation zwischen bedrooms und price
• d-connected: Variablen sind über einen gerichteten Pfad “verbunden”

Definition: Konfundierungsvariable

Definition: Konfundierungsvariable

Eine Konfundierungsvariable (Konfundierer) ist eine Variable, die den Zusammenhang zwischen UV und AV verzerrt, wenn sie nicht kontrolliert wird (VanderWeele & Shpitser, 2013).

m2 kontrolliert den Konfundierer livingArea

• Kontrolliert man livingArea, werden bedrooms und price unkorreliert (d-separated)

Definition: Blockieren

Definition: Blockieren

Das Kontrollieren eines Konfundierers “blockt” den betreffenden Pfad — es besteht dann über diesen Pfad keine Assoziation mehr zwischen UV und AV. UV und AV sind dann d-separated (“getrennt”).

Konfundierer kontrollieren — mit vs. ohne

• Links: ohne Kontrolle der Konfundierungsvariable → Scheinkorrelation
• Rechts: mit Kontrolle → keine Korrelation mehr

Wichtig

Kontrollieren Sie Konfundierer.

m1/m2 passen nicht zu km1

• Laut km1 dürfte es keine Assoziation zwischen bedrooms und price geben, wenn livingArea kontrolliert wird
• In den Daten gibt es aber noch eine Assoziation
• Also: m1 und m2 sind nicht mit km1 vereinbar

Kausalmodell km2: Mediation

• Wirkkette: area \(\rightarrow\) bedrooms \(\rightarrow\) price, plus direkter Effekt area \(\rightarrow\) price
• Mittlere Variable = Mediator, der Pfad = Mediation

Dons Kausalmodell km3

• Don behauptet: bedrooms und livingArea sind unkorreliert
• Realität: Sie sind korreliert (Angie rechnet es nach)
• km3 widerspricht also den Daten

Unabhängigkeiten laut den Kausalmodellen

• km1: \(b \indep p \mid a\) (bedrooms unabhängig von price, gegeben area) — passt nicht zu den Daten
• km2: keine Unabhängigkeiten postuliert — passt formal zu den Daten, ist aber ein saturiertes (empirisch schwaches) Modell
• km3: \(b \indep a\) — passt nicht zu den Daten

Hinweis

Ein saturiertes Modell (alle Variablen korreliert) ist kaum falsifizierbar und daher wissenschaftlich wenig aussagekräftig.

DAGs: Directed Acyclic Graphs

Mehrere DAGs passen oft zu einer Datenlage

• Mehrere Kausalmodelle können die gleichen (Un-)Abhängigkeiten implizieren
• Empirisch nicht unterscheidbar — man bräuchte mehr/andere Variablen

Definition: DAG

Definition: DAG

DAGs sind eine Art von Graphen zur Analyse von Kausalstrukturen. Ein Graph besteht aus Knoten (Variablen) und Kanten (Linien). DAGs sind gerichtet (Pfeile von Ursache zu Wirkung) und azyklisch (keine Rückführung auf sich selbst).

Definition: Pfad

Ein Pfad ist ein Weg durch den DAG, von Knoten zu Knoten über die Kanten, unabhängig von der Pfeilrichtung.

Was ist eine Ursache?

Hinweis

Weiß man, was die Wirkung \(W\) einer Handlung \(H\) (Intervention) ist, so hat man \(H\) als Ursache von \(W\) erkannt (McElreath, 2020).

Definition: Kausale Abhängigkeit

Ist \(X\) die Ursache von \(Y\), so hängt \(Y\) von \(X\) ab: \(Y\) ist (kausal) abhängig von \(X\).

Viele Menschen denken fälschlich, dass Korrelation Kausation bedeuten muss.

Der Schoki-DAG

• Schokoladenkonsum und Nobelpreise korrelieren stark (\(r = 0{,}79\))
• Möglicher Konfundierer: Entwicklungsstand eines Landes

Fazit

Zusammenfassung

• Zwei Variablen können korreliert sein durch:
  1. einen kausalen (“echten”) Zusammenhang
  2. einen nichtkausalen Zusammenhang (Scheinkorrelation)
• Konfundierung ist eine mögliche Ursache einer Scheinkorrelation
• Aufdecken: angenommenen Konfundierer kontrollieren (z. B. als Prädiktor in der Regression)
• Löst sich der Scheinzusammenhang dabei nicht auf, sondern dreht sich das Vorzeichen um: Simpson-Paradox

Fazit

Wichtig

Die Daten allein können nie sagen, welches Kausalmodell zutrifft. Fachwissen ist nötig, um DAGs auszuschließen.

• Korrelation \(\neq\) Kausation
• Um Scheinkorrelation von echter Assoziation abzugrenzen: Kausalmodelle prüfen
• Konfundierung ist eines von vier “Atomen” der Kausalinferenz (neben Kollision, Mediation, Nachfahre)

Vielen Dank!

Fragen?

McElreath, R. (2020). Statistical Rethinking: A Bayesian Course with Examples in R and Stan (2. Aufl.). Taylor and Francis, CRC Press.

VanderWeele, T. J., & Shpitser, I. (2013). On the Definition of a Confounder. Annals of statistics, 41(1), 196–220. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4276366/